Cauchyrij(2)

dirkwb

Bewijs dat p_n een Cauchyrij is als voor p_n geldt:

\( p_n = 1 + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!} \)

Stel dat ik de definite van e niet ken dan zie ik niet in hoe je dit kan aanpakken, heeft iemand een idee?

TD

Moet je het met de definitie van Cauchy doen? De rij is duidelijk monotoon stijgend, als je een bovengrens vindt ben je er ook.

dirkwb

Moet je het met de definitie van Cauchy doen? De rij is duidelijk monotoon stijgend, als je een bovengrens vindt ben je er ook.

Elke convergente rij is ook Cauchy... dus met bovengrens exp(1) en p(n+1) - p(n)>0 is de rij convergent, toch?

TD

Inderdaad, maar zelfs als je de definitie van e niet kent (zoals je vroeg), kan je een bovengrens vinden via afschatting.

dirkwb

Inderdaad, maar zelfs als je de definitie van e niet kent (zoals je vroeg), kan je een bovengrens vinden via afschatting.

Die bovengrens moet voor alle n gelden, toch? Ik zie behalve e niet een ander (kleinere) bovengrens.

TD

Uiteraard geen kleinere, maar dat hoeft toch ook niet? Het volstaat dat de rij (1) monotoon stijgend is en (2) naar boven begrensd.

Phys

Sidenote: de gegeven p_n is geen rij, maar een som (limiet van reeks).

TD

Ik begrijp je opmerking niet goed. Als je voor elke n, p(n) definieert zoals gegeven, dan is p(n) een goed gedefinieerde rij. Het feit dat je deze rij kan zien als rij van partieelsommen van een andere rij (die hier niet vermeld wordt), doet geen afbreuk aan het feit dat p(n) gewoon een rij bepaalt...

dirkwb

Uiteraard geen kleinere, maar dat hoeft toch ook niet? Het volstaat dat de rij (1) monotoon stijgend is en (2) naar boven begrensd.

Wat is die bovengrens dan? Afschatting via een meetkundige reeks met reden 1/2?

TD

Lijkt me ook, je vindt dan eenvoudig 3 als bovengrens volgens mij.

dirkwb

Sidenote: de gegeven p_n is geen rij, maar een som (limiet van reeks).

Nee, p(n) is een rij precies vanwege de reden die TD aangaf.

Phys

I stand corrected.

Het feit dat je deze rij kan zien als rij van partieelsommen van een andere rij (die hier niet vermeld wordt), doet geen afbreuk aan het feit dat p(n) gewoon een rij bepaalt...

Je doelt dan op de rij

\(\{x_n\}_{n\geq 1}=\frac{1}{n!}\)

, toch?

dirkwb

Lijkt me ook, je vindt dan eenvoudig 3 als bovengrens volgens mij.

Het is toch 2?

TD

I stand corrected.Je doelt dan op de rij
\(\{x_n\}_{n\geq 1}=\frac{1}{n!}\)
Het is toch 2?
Dat lijkt me sterk (als bovengrens?!) want de rij convergeert naar e...

Edit: deze rij gaat niet naar e maar naar e-1 (begint niet bij 1/0! maar 1/1!), de bovengrens is dan inderdaad 2.

dirkwb

Iemand anders gaf mij dit:

\( \frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+...+\frac{1}{(n+ k)!}=\frac{1}{(n+1)!} \left( 1+\frac{1}{(n+2)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+...\frac{1 }{(n+2)...(n+k)} \right) <\)

\(\frac{1}{(n+1)!} \left( 1+\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n +1)^{k}} \right) <\frac{1}{n!n}<\frac{1}{n}< \frac{1}{N}<\varepsilon\ \)

\(\forall n > N=1 / \varepsilon\)

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Cauchyrij(2)

Cauchyrij(2)

Re: Cauchyrij(2)

Re: Cauchyrij(2)

Re: Cauchyrij(2)

Re: Cauchyrij(2)

Re: Cauchyrij(2)

Re: Cauchyrij(2)

Re: Cauchyrij(2)

Re: Cauchyrij(2)

Re: Cauchyrij(2)

Re: Cauchyrij(2)

Re: Cauchyrij(2)

Re: Cauchyrij(2)

Re: Cauchyrij(2)

Re: Cauchyrij(2)