Springen naar inhoud

E-machten van matrices


  • Log in om te kunnen reageren

#1

wiskunde88

    wiskunde88


  • >100 berichten
  • 101 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 oktober 2008 - 21:05

In deze opgave willen we e-machten van matrices berekenen. Om dit te doen moeten we eerst definieren wat een e-macht van een matrix is. Laat nu A een n n-matrix zijn, in analogie met de Taylorreeks definieren we
e^A = (som van k=0 tot oneindig) 1/k! * A^k

a) Bereken voor een n n diagonaalmatrix A zijn e-macht en schrijf deze als 1 matrix
b) Toon aan dat e^(CAC^-1) = C*(e^A)*C^-1
c) Bereken e^A (Hint: Breng A op diagonaalgedaante en gebruik onderdeel b)
met A:
-1 4 -2
-3 4 0
-3 1 3

Iemand een idee hoe je dit moet aanpakken?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 oktober 2008 - 21:17

a) Bereken voor een n n diagonaalmatrix A zijn e-macht en schrijf deze als 1 matrix

In de definitie van de e-macht van een matrix komt de macht van die matrix voor. Wat weet je over de macht van een diagonaalmatrix?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

wiskunde88

    wiskunde88


  • >100 berichten
  • 101 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 oktober 2008 - 21:57

A^n bij diagonaalmatrix wordt

a11^n 0 0
0 a22^n 0
0 0 a33^n

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 oktober 2008 - 09:17

Dus wat geeft dat voor de e-macht van een diagonaalmatrix...? Probeer een stap verder te denken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

wiskunde88

    wiskunde88


  • >100 berichten
  • 101 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 oktober 2008 - 10:37

e^a11 1 1
1 e^a22 1
1 1 e^a33

Zoiets?:D. ik heb geen idee eigenlijk

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 oktober 2008 - 10:44

Geen idee? Omdat je gokt en niet de tijd neemt om zelf met pen en papier eens wat te proberen...?

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

wiskunde88

    wiskunde88


  • >100 berichten
  • 101 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 oktober 2008 - 11:01

Ja, ik volg het zo wel allemaal. Maar wat ik vervolgens zou moeten doen..
Je kan hem nu uitschrijven maar dat is niet echt de bedoeling denk ik.
Voor die term linksboven in de matrix krijg je dan 1, a, a^2/2!, a^3/3! enz Zo voor de hele diagonaal. Maar daar zit geen e-macht in:P

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 oktober 2008 - 11:02

Nu staat er een som van matrices, maar die kan je samennemen tot een matrix (als je weet hoe de optelling voor matrices werkt). Begin dat toch eens uit te schrijven, maar kijk goed wat er gebeurt. Concentreer je bijvoorbeeld op het eerste diagonaalelement, wat komt daar te staan als je de matrices allemaal optelt?

In plaats van uitschrijven, kan je ook symbolisch verder werken. Opnieuw, als je weet hoe de optelling voor matrices werkt, wat gebeurt er dan met de sommatie die nu buiten de matrix staat? Als je dit 'inziet', doe het dan zo. Indien niet, schrijf het dan toch eens (een stukje) uit zodat je ziet wat er gebeurt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

wiskunde88

    wiskunde88


  • >100 berichten
  • 101 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 oktober 2008 - 11:14

Die 1e term is gelijk aan e^a als je hem uitschrijft en optelt

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 oktober 2008 - 12:48

Inderdaad, en dus de tweede diagonaalterm? En algemeen? Dus hoe ziet de hele matrix eruit?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

wiskunde88

    wiskunde88


  • >100 berichten
  • 101 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 oktober 2008 - 12:52

2e is dan e^b 3e e^c
ik snap niet hoe je dit dan kunt generaliseren

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 oktober 2008 - 12:55

Het is toch duidelijk dat je gewoon de e-macht van elk diagonaalelement moet nemen...? Verder symbolisch:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

wiskunde88

    wiskunde88


  • >100 berichten
  • 101 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 oktober 2008 - 12:57

Ja dat zei ik toch:P. Maar dat is dan dus al de matrix?

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 oktober 2008 - 13:00

Ja toch.... Kijk eens naar het begin (linkerlid) van m'n uitwerking, dat was e^A.
Let wel, dit geldt alleen als A een diagonaalmatrix is! Dit is nog steeds deel a) dus...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

wiskunde88

    wiskunde88


  • >100 berichten
  • 101 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 oktober 2008 - 13:06

Oke, dat was a dan. Snap ik wel.
Bij b dan.
Voor die c te krijgen moet je toch de eigenwaarden en eigenvectoren uitrekenen. Maar hoe zou dat hier moeten?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures