[wiskunde] limiet en sinus

Yfke

Hoi allemaal, ik ben voor een onderdeel van mijn profielwerkstuk bezig om de oppervlakteformule van een cirkel af te leiden uit de algemene oppervlakteformule voor regelmatige polygonen. Dit heb ik besloten te doen door gebruik van een limiet naar oneindig, maar ik loop vast bij een limiet dat binnen een sinusfunctie staat.

Dit is wat ik tot nu toe heb:

(Let op: ro staat voor r met een subscript o, en is dus één variabele, geen twee.)

Afbeelding

Ter verduidelijking: in de eerste "stap" heb ik L vervangen door 2ro x sin (π/2)

Uiteraard moet er uiteindelijk πr² uitkomen.

Hier loop ik vast. Ik heb wat rondgezocht op internet, en op wikibooks vond ik het volgende:

$Afbeelding$

$Afbeelding$

$Afbeelding$

Ik snap echter niet wat er gebeurt in de laatste stap. Ik neem aan dat dit een stukje wiskunde is wat ik gewoon nog niet heb gehad op school.

Misschien kan iemand mij uitleggen wat er wordt gedaan in de uitleg van wikibooks, of (een aanzet tot) een alternatieve manier bieden om het limiet verder op te lossen? Alvast bedankt!

Drieske

In de wiskunde geldt volgende eigenschap:

$ lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$

Jij hebt nu:

$ lim_{n \to \infty} \frac{sin \frac{2 \pi}{n}}{\frac{2 \pi}{n}} = 1$

. Het argument bij je sin gaat naar 0, zoals moet om de eigenschap te kunnen gebruiken en je noemer gaat ook naar 0, dus staat er exact de eigenschap die ik vanboven heb staan

TD

Het argument bij je sin gaat naar 0, zoals moet om de eigenschap te kunnen gebruiken en je noemer gaat ook naar 0, dus staat er exact de eigenschap die ik vanboven heb staan

Toch een kleine (maar niet onbelangrijke) opmerking hierbij: het volstaat niet dat het argument van de sinus en de noemer allebei naar 0 gaan, je moet wel degelijk hetzelfde in de noemer hebben als het argument voor je (standaard)limiet.

Phys

Ter illustratie van TD's belangrijke opmerking:

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2)}{x}=0$

,

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(nx)}{x}=n$

Terwijl telkens zowel argument als noemer naar nul gaan.

Yfke

Bedankt allemaal, het was dus inderdaad niet een heel ingewikkeld probleem, maar gewoon een standaardlimiet dat ik nog nooit had gezien. Nu kan ik weer een heel eind verder, dus bedankt!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] limiet en sinus

[wiskunde] limiet en sinus

Re: [wiskunde] limiet en sinus

Re: [wiskunde] limiet en sinus

Re: [wiskunde] limiet en sinus

Re: [wiskunde] limiet en sinus