Springen naar inhoud

[wiskunde] bewijs (inductie)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

ntstudent

    ntstudent


  • >250 berichten
  • 577 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 oktober 2008 - 19:37

Hallo,

ik snap een bepaalde stap niet die ze in het boek doen:

Let LaTeX and LaTeX , for LaTeX , let LaTeX . Prove that LaTeX is divisible by 3 if and only if n is divisible by 3.

This is one of the examples we promised in Section 3.1, where the key to the proof is a clever choice of S. Before proceeding, you might try some logical choices of S and see if proofs can be constructed using these choices.

Let LaTeX Since LaTeX and LaTeX , then 1,2 LaTeX S. Let LaTeX and assume that LaTeX . Then

LaTeX
LaTeX
LaTeX

where LaTeX . Since both k and n belong to S, both LaTeX and LaTeX are divisible by 3, and so LaTeX . By the Second Principle Mathematical, LaTeX , and it follows from this equality that LaTeX is divisible by 3 if and only if n is divisible by 3.

(Mogelijk zijn er tikfouten, mijn excuses daarvoor alvast)


Mijn vraag is, hoe komen ze van LaTeX naar LaTeX ik zie deze "overgang" namelijk niet echt. (het komt voor mij zomaar uit de lucht vallen).

Bedankt voor uw uitleg alvast.
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 oktober 2008 - 20:47

where LaTeX

.
Bedankt voor uw uitleg alvast.

Moet dat niet zijn "where LaTeX "?

Maar wat begrijp je precies niet? Weet je hoe de second principle of induction werkt?
Er is aangetoond dat LaTeX . Nu moet nog de volgende implicatie aangetoond worden:
Šls voor alle LaTeX geldt dat LaTeX , dŠn LaTeX
Indien dit gedaan is, geldt LaTeX , oftewel geldt de uitspraak voor alle natuurlijke getallen.

Wat ze dus doen, is eerst aannemen dat LaTeX , d.w.z. de aanname is dat LaTeX deelbaar is door 3 voor alle l tussen 0 en n. Met deze aanname (de 'inductiehyptohese'), moet aangetoond worden dat LaTeX deelbaar is door 3. Begrijp je dat wanneer dit is aangetoond, dat het bewijs dan voltooid is?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

ntstudent

    ntstudent


  • >250 berichten
  • 577 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 oktober 2008 - 21:18

Sorry tikfout: LaTeX en ik begrijp dat wel, alleen ik snap niet hoe ze aan: LaTeX komen...
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 oktober 2008 - 21:41

Nogmaals, wŠt begrijp je daar niet aan? Zoals ik al zei:

Met deze aanname (de 'inductiehyptohese'), moet aangetoond worden dat LaTeX

deelbaar is door 3.

Begrijp je dat dit moet worden aangetoond?
Je ziet natuurlijk dat LaTeX geldt, immers n+1+6=n+7.
Vervolgens gebruik je de algemene recursierelatie

voor n>=2: LaTeX

Oftewel LaTeX
en LaTeX

Samen levert dat LaTeX
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#5

ntstudent

    ntstudent


  • >250 berichten
  • 577 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 oktober 2008 - 22:03

Hoe komen ze aan die 6?
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

#6

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 oktober 2008 - 22:12

Alsjeblieft ntstudent, voor de derde keer: geef nu eens duidelijk wŠt je bedoelt? Ik zit hele berichten te typen maar blijk telkens je vraag niet goed te begrijpen. Ik wil je graag helpen, maar dat gaat sneller en effectiever als je duidelijk bent.

Wťlke 6? De 6 in

LaTeX

of de 6 in

Then LaTeX

of de 6 in

Oftewel x_{n+7}=x_{n+6} + 2x_{n+5}

?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#7

ntstudent

    ntstudent


  • >250 berichten
  • 577 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 oktober 2008 - 22:20

Oh sorry, maar ikb edoelde die 6 in die set. Ik leg u even mijn probleem duidelijker uit. Ze zeggen dat "you might try some logical choices of S", maar waarom kiezen ze voor een 6? (De eerste dus)

Veranderd door ntstudent, 27 oktober 2008 - 22:20

To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

#8

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 oktober 2008 - 22:35

Maar dat is een heel andere vraag dan in je openingspost:

Mijn vraag is, hoe komen ze van LaTeX

naar LaTeX ik zie deze "overgang" namelijk niet echt. (het komt voor mij zomaar uit de lucht vallen).

Volgens mij is hier niet echt een beter antwoord op te geven dan dat het, zoals gezegd, een 'clever choice' is.
Maar: stel je kiest LaTeX en weet te bewijzen dat S=N (oftewel voor alle natuurlijk getallen n is LaTeX deelbaar door 3), dan kun je daaruit niet het gevraagde concluderen; dus deze keuze werkt niet. Misschien zijn er meerdere keuzen voor S die werken, dat kan ik je niet vertellen.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#9

ntstudent

    ntstudent


  • >250 berichten
  • 577 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 oktober 2008 - 22:42

Okay, ik heb alleen moeite om te zien hoe ik aan zo'n "clever choice" moet komen.
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures