[wiskunde] integraal sin(x)cos(x)

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 30-10-'08, 00:00

ntstudent

Gebruikersavatar
Berichten: 577

[wiskunde] integraal sin(x)cos(x)

Hallo,

ik heb de volgende integraal:
\(\sin(x)\cos(x)\)
en die ga ik integreren d.m.v. substitutie:
\(\int{\sin{(x)}\cos{(x)}}dx\)
\(y(x) = \sin{(x)}\)
\(y'(x) = \cos{(x)}\)
\( \cos{(x)} dx = dy\)
\(\int{y}dy = \frac{1}{2}\sin{(x)}^2\)
Maar als ik i.p.v. sinus cosinus substitueer krijg ik wat anders eruit. Volgens Maple is wat ik met cosinus eruit krijg goed:
\(-\frac{1}{2}\cos{(x)}^2\)
. Wat doe ik hier fout?

PS als ik differentier krijg ik wel beide goede antwoorden...

Bedankt!
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.
Omhoog

Bericht 30-10-'08, 00:06

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] integraal sin(x)cos(x)

Ik zou het antwoord wel direct willen geven, maar het is nuttiger als je het zelf bedenkt. Daarom de hint:

bedenk dat bij een onbepaalde integraal altijd een constante hoort (die jij bent vergeten op te schrijven).

Denk verder aan een zekere identiteit die cos^2 en sin^2 relateert.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 30-10-'08, 00:23

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] integraal sin(x)cos(x)

En nog leuk, via sin(2x) = 2.sin(x)cos(x) kan je de integraal ook nog zo doen:
\(\int {\sin x\cos x} \,\mbox{d}x = \frac{1}{2}\int {\sin \left( {2x} \right)} \,\mbox{d}x = - \frac{{\cos \left( {2x} \right)}}{4}\)
Nog een andere functie (constante 0 genomen) en toch dezelfde afgeleide :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 30-10-'08, 00:50

ntstudent

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: [wiskunde] integraal sin(x)cos(x)

Phys schreef:Ik zou het antwoord wel direct willen geven, maar het is nuttiger als je het zelf bedenkt. Daarom de hint:

bedenk dat bij een onbepaalde integraal altijd een constante hoort (die jij bent vergeten op te schrijven).

Denk verder aan een zekere identiteit die cos^2 en sin^2 relateert.
Ik zie niet hoe dat relateert tot dit, aangezien ik sin^2 of cos^2 niet herschrijf oid. Verder als ik ze differentieer kom ik beide goed uit... terwijl de ene negatief is en de andere positief..

PS: wat is dan eigenlijk het "goede" antwoord?
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.
Omhoog

Bericht 30-10-'08, 00:57

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] integraal sin(x)cos(x)

Ik wil niet flauw zijn, maar het lijkt erop dat je weinig moeite doet om na te denken. Ik heb het antwoord al bijna helemaal geven, er mist nog één denkstap, en ik heb je al gezegd in welke richting je het moet zoeken.
Ik zie niet hoe dat relateert tot dit, aangezien ik sin^2 of cos^2 niet herschrijf oid.
Geef eerst eens de identiteit die ik bedoel.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 30-10-'08, 01:07

ntstudent

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: [wiskunde] integraal sin(x)cos(x)

U bedoelt sin^2 + cos^2 = 1 denk ik... of ik denk nu verkeerd... Ik zal er een nachtje over nadenken...
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.
Omhoog

Bericht 30-10-'08, 01:10

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] integraal sin(x)cos(x)

Die bedoel ik inderdaad. Schrijf nu eens je tweede antwoord
\(-\frac{1}{2}\cos^2(x)\)
m.b.v. deze relatie om in een sin^2(x).

PS: We zijn er bijna, ga nog niet slapen! :D
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 30-10-'08, 01:15

ntstudent

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: [wiskunde] integraal sin(x)cos(x)

Oh wacht natuurlijk! De constantes...
\(\frac{1}{2}\sin{(x)}^2 + C_{1} = - \frac{1}{2}\cos{(x)}^2 + C_{2}\)
dus:
\(\frac{1}{2}\sin{(x)}^2 + C_{1} = \frac{1}{2}(1-\cos{(x)}^{2}) + C_{1}\)
, natuurlijk wordt dan:
\(C_{2} = C_{1} + \frac{1}{2}\)
Okay, bedankt. Ik ga ook even die van TD ook proberen...

PS: niet zo snel reageren, ik heb tijd nodig om zonder "extra hint" te typen :D . Nu lijkt het alsof ik uw hint heb gelezen :P haha.
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.
Omhoog

Bericht 30-10-'08, 01:18

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] integraal sin(x)cos(x)

Oh wacht natuurlijk! De constantes...
Dat schreef ik al he:
Daarom de hint:

bedenk dat bij een onbepaalde integraal altijd een constante hoort (die jij bent vergeten op te schrijven).
\(\frac{1}{2}\sin{(x)}^2 + C_{1} = - \frac{1}{2}\cos{(x)}^2 + C_{2}\)
dus:
\(\frac{1}{2}\sin{(x)}^2 + C_{1} = \frac{1}{2}(1-\cos{(x)}^{2}) + C_{1}\)
Inderdaad, dus
\(C_2=C_1+\frac{1}{2}\)
PS: niet zo snel reageren, ik heb tijd nodig om zonder "extra hint" te typen :P . Nu lijkt het alsof ik uw hint heb gelezen :D haha.
Sorry :P
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 30-10-'08, 01:26

ntstudent

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: [wiskunde] integraal sin(x)cos(x)

PS: geen excuses nodig hoor :D . Echt dank u wel voor uw hulp =)!

TD's manier:

herschrijf identiteit:
\(1 - 2 \sin{(x)}^{2} = \cos{(2x)}\)
naar
\( \frac{1}{2}(1 - \cos{(2x)}) = \sin{(x)}^{2}\)
\(\frac{1}{2} \sin{(x)}^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (1-\cos{(2x)}) + C_{1}\)
en dan uitwerken =).

Trusten =)!
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.
Omhoog

Bericht 30-10-'08, 10:17

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] integraal sin(x)cos(x)

Inderdaad, ook daar zit het verschil in de constante. Kijk maar eens:

<!--graphstart--><script type="text/javascript">graph(-4,4,-1,1,300,300,600,600, 'pow(sin(x),2)/2', '-pow(cos(x),2)/2', '-cos(2*x)/4')</script><!--graphend-->

Zoals je ziet zijn de grafieken hetzelfde, op een verticale verschuiving na (precies die constante!).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 30-10-'08, 11:01

Vladimir Lenin

Gebruikersavatar
Berichten: 829

Re: [wiskunde] integraal sin(x)cos(x)

Overigens, weinig mensen weten dat maple ook step-by-step kan integreren, bij versie 12 staat dit onder Tools>Tutors>Calculus - Single Variable>Integration Methods... Hier een schermafdruk van het Form toegepast op jou integraal.
sbsintegration.PNG
sbsintegration.PNG (26.89 KiB) 1262 keer bekeken
Ik weet dat er op WSF normaalgesproken geen antwoorden gegeven worden, maar aangezien ik het antwoord al aantref boven mijn bericht, doet die regel er naar mijn idee niet veel toe. En het verzwijgen van die tool heeft al evenmin nut, want vroeg of laat vindt je hem toch.
"Als je niet leeft zoals je denkt, zul je snel gaan denken zoals je leeft."

--Vladimir Lenin-- (Владимир Ильич Ульянов)
Omhoog

Bericht 30-10-'08, 17:50

ntstudent

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: [wiskunde] integraal sin(x)cos(x)

Ja zoiets had ik al gehoord. Bedankt voor het showen van de tool =) en al jullie hulp!

Maar op zich, alle antwoorden ervan zijn dus correct klopt dat? (de bovengenoemde oplossingen)
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.
Omhoog

Bericht 30-10-'08, 18:01

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] integraal sin(x)cos(x)

Nou, eigenlijk zijn ze allemaal fout :D

Als je de onbepaalde integraal moet bepalen, dan moet je de integratieconstante niet vergeten! Er zijn namelijk oneindig veel primitieven, en op deze manier geef je ze allemaal.

Dus dit zijn allemaal goede antwoorden:
\(\int{\sin{(x)}\cos{(x)}}dx=\frac{1}{2}\sin{(x)}^2+C_1\)
\(\int{\sin{(x)}\cos{(x)}}dx=-\frac{1}{2}\cos{(x)}^2+C_2\)
\(\int{\sin{(x)}\cos{(x)}}dx=- \frac{{\cos \left( {2x} \right)}}{4}+C_3\)
Je hoeft er natuurlijk maar één te geven.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 31-10-'08, 10:52

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] integraal sin(x)cos(x)

Het is maar een kwestie van afspraak, maar met de notatie van die onbepaalde integraal bedoelen we doorgaans de verzameling van alle primitieve functies, niet van één specifieke. Gelukkig kan je bewijzen dat als je er één vindt, je ze allemaal hebt op een constante na. Dat is interessant: je vindt er dus een, schrijft "+C" en je hebt ze allemaal!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”