Springen naar inhoud

Stelling over totaal differentieerbaarheid


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2008 - 02:18

Zij LaTeX een differentieerbare functie en LaTeX een lineaire afbeelding. Bewijs dat de volgende uitspraken equivalent zijn:
1) Voor iedere LaTeX is LaTeX
2) Er is een LaTeX met de eigenschap dat LaTeX voor iedere LaTeX


LaTeX is dus de totale afgeleide van f (in matrixnotatie de Jacobi-matrix). Ik dacht: laat ik eens een functie proberen om de stelling te verifiŽren (en om inzicht te krijgen in wat er nu eigenlijk gevraagd wordt). Ik leek echter al meteen een tegenvoorbeeld te hebben bedacht ( :D ):

Zij LaTeX f is duidelijk (totaal) differentieerbaar: de partiŽle afgeleiden bestaan en zijn continu.
Dan LaTeX

Stel nu dat 1) geldt: LaTeX
Wat is het beeld van deze lineaire afbeelding? LaTeX

Volgens de stelling geldt nu 2): Er is een LaTeX zodat voor alle LaTeX geldt dat LaTeX oftewel LaTeX
Dit kan alleen als LaTeX
c moet echter constant zijn dus het is onmogelijk.

Interpreteer ik iets fout?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 november 2008 - 11:13

Is jouw afbeelding daadwerkelijk lineair?
Quitters never win and winners never quit.

#3

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 augustus 2009 - 14:29

Nu mijn kennis over lineaire afbeeldingen en analyse iets diepgaander is dan destijds, heb ik dit topic nog eens opgezocht. Dirkwb heeft gelijk dat mijn L niet lineair is (wat duidelijk blijkt uit de niet-lineaire factor x1x2). Mijn interpretatiefout zat hem in de woorden "voor iedere x" in "voor iedere LaTeX is LaTeX ". Om dit in te zien in mijn voorbeeld, had ik beter dit kunnen schrijven:
Zij LaTeX willekeurig. Stel LaTeX . Dus LaTeX zou gedefinieerd moeten zijn door LaTeX . Maar dit moet gelden voor iedere (a1,a2)! Het is duidelijk dat dat niet gaat. Oftewel: mijn voorbeeld voldeed simpelweg niet.

Mocht iemand nog geÔnteresseerd zijn in een bewijs (heel eenvoudig): we maken gebruik van de welbekende eigenschap LaTeX voor iedere lineaire afbeelding L.

2->1
Stel er is c zodat f(x)=L(x)+c voor iedere x. Dan geldt voor iedere x dat Df(x)=DL(x)+Dc=L+0=L.

1-->2
Stel dat voor iedere x geldt Df(x)=L. Dan geldt voor iedere x dat D(f-L)(x)=Df(x)-DL(x)=Df(x)-L=Df(x)-Df(x)=0. Dus f-L is constant. Dus voor iedere x geldt f(x)=L(x)+c voor een zekere constante c.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures