\(f:\rr^n\to\rr^p\)
een differentieerbare functie en \(L:\rr^n\to\rr^p\)
een lineaire afbeelding. Bewijs dat de volgende uitspraken equivalent zijn:1) Voor iedere
\(x\in\rr^n\)
is \(Df(x)=L\)
2) Er is een \(c\in\rr^p\)
met de eigenschap dat \(f(x)=L(x)+c\)
voor iedere \(x\in\rr^n\)
[/i]\(Df(x)\)
is dus de totale afgeleide van f (in matrixnotatie de Jacobi-matrix). Ik dacht: laat ik eens een functie proberen om de stelling te verifiëren (en om inzicht te krijgen in wat er nu eigenlijk gevraagd wordt). Ik leek echter al meteen een tegenvoorbeeld te hebben bedacht ( 
):Zij
\(f:\rr^2\to\rr^2:(x_1,x_2)\mapsto (x_1+x_2,x_1x_2)\)
f is duidelijk (totaal) differentieerbaar: de partiële afgeleiden bestaan en zijn continu.Dan
\(Df(x)=Df(x_1,x_2)=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\x_2 & x_1\end{array}\right)\)
Stel nu dat 1) geldt: \(L=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\x_2 & x_1\end{array}\right)\)
Wat is het beeld van deze lineaire afbeelding? \(L\left(\begin{array}{cc}x_1\\x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\x_2 & x_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x_1\\x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x_1+x_2\\2x_1x_2\end{array}\right)\)
Volgens de stelling geldt nu 2): Er is een \((c_1,c_2)\in\rr^2\)
zodat voor alle \((x_1,x_2)\in\rr^2\)
geldt dat \(f(x_1,x_2)=L(x_1,x_2)+(c_1,c_2)\)
oftewel \((x_1+x_2,x_1x_2)=(x_1+x_2,2x_1x_2)+(c_1,c_2)\)
Dit kan alleen als \((c_1,c_2)=(0,-x_1x_2)\)
c moet echter constant zijn dus het is onmogelijk. Interpreteer ik iets fout?
