Springen naar inhoud

Oneindigheid


  • Log in om te kunnen reageren

#1

landheha

    landheha


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 november 2008 - 09:31

Oneindigheid is een behoorlijk complex en paradoxaal begrip geworden.
Zie b.v. Cardinaliteit van het continuum

Het alternatieve beeld dat ik heb op oneindigheid in de wiskunde is de volgende

Wiskunde kun je zien als een gereedschap
Precisie

Het gereedschap heeft een precisie van N.
Volgens x = x + 1 kun je blijven tellen tot oneindig.
Het gereedschap heeft in dit opzicht geen beperkingen.
Je kunt objecten beschrijven van iedere willekeurige grootte.

Iteratie en recursie
Het gereedschap ondersteund iteratie en recursie. Dit geldt voor operaties en functies binnen het gereedschap, maar ook het gereedschap zelf kan iteratief of recursief worden ingezet. Dit is een zeer krachtig mechanisme.
Het aantal mogelijke iteraties/recursies is weer N.
Ook hier legt het gereedschap je geen beperkingen op.

Fractals, inzoomen en uitzoomen
Een fractal zoals de bekende Mandelbrot set op een computerscherm geeft je een voorbeeld van mogelijkheden van dit gereedschap in combinatie. Deze functie resulteert in een bepaald beeld. Daarna kun je inzoomen op een deel van dit beeld. Je krijgt dan een nieuw beeld met dezelfde resolutie als het origineel. Vele nieuwe details worden zichtbaar. Dan kun je weer inzoomen met hetzelfde resultaat, etc. etc. etc. Je kunt oneindig doorgaan en de verdere details blijven komen. Voor uitzoomen geldt hetzelfde.

Dit proces toont je het recursief gebruik van het gereedschap zelf bij het inzoomen en uitzoomen. Het laat ook mooi zien dat je op elk gekozen niveau de volledige precisie tot je beschikking hebt.

Toepassing op oneindige verzamelingen
Ik zie een mogelijkheid dat men het recursief toepassen van het gereedschap over het hoofd heeft gezien. Neem je dit in ogenschouw, dan wordt alles weer intuitief begrijpbaar.

Telbaar oneindig
Volgens de huidige theorie zijn alle telbaar oneindige verzamelingen van de grootte |N|. Volgens dit beeld klopt dit niet. Bij deelverzamelingen van N, b.v. de even getallen, vergeet je dat je zojuist hebt ingezoomd en dat je nu weer de volledige precisie van het gereedschap tot je beschikking hebt. Bij verzamelingen als Z en Q vergeet je dat je net hebt uitgezoomd en je hebt weer dezelfde precisie tot je beschikking.
Je mag geen conclusies trekken uit 1-op-1 vergelijkingen tussen twee zoom-niveau's.
Deze verklaring kun je ook loslaten op de paradoxen van Galileo en die van Hilbert's Oneindige Hotel.

Ontelbaar oneindig
Op de grootte |R| van het aantal punten op ieder willekeurig stuk lijn kun je hetzelfde mechanisme loslaten. Door het gereedschap recursief op een steeds kleiner stukje lijn los te laten blijf je elke keer weer een beeld met dezelfde precisie terugkrijgen.
Dit is het maximum dat je met het gereedschap kunt doen, een beschrijving met een precisie van N N keer recursief toepassen.
Deze verklaring kun je ook loslaten op Cantors beroemde diagonale bewijs, maar net zo goed op zijn eerdere bewijs.

Set van alle sets, supersets, supertasks
Als je dit beeld volgt zie je hoe het idee van dit soort sets ontstaat. De tool wiskunde legt ons stomweg geen beperkingen op. Ditzelfde beeld geeft ook aan dat genoemde sets dus niet bestaan. Deze verklaring kun je loslaten op de paradox van Russell.


Resultaat van dit beeld
Dit eenvoudige beeld biedt de mogelijkheid om de groottes van oneindige verzamelingen weer de onderlinge verhoudingen te laten hebben die je zou verwachten. Het stelt je in staat om de Continuum Hypothese van Cantor te falsificeren.

Reality / Sanity check
Dit is een heel eenvoudig visueel beeld en de wiskunde op dit gebied is veel en veel complexer.
Ik ben maar een gewone prutser :D, dus (nog) niet in staat om dit beeld in de wiskundige of logische syntax om te zetten.
Maar ik vind het beeld wel heel erg krachtig.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2008 - 11:51

Wiskunde kun je zien als een gereedschap
Precisie

Het gereedschap heeft een precisie van N.
Volgens x = x + 1 kun je blijven tellen tot oneindig.
Het gereedschap heeft in dit opzicht geen beperkingen.
Je kunt objecten beschrijven van iedere willekeurige grootte.

Je bedoelt dit misschien goed, maar "x = x + 1" omschrijft het niet goed (dit is een vergelijking met oplossing x = 0). Wellicht bedoel je gewoon dat je voor elk natuurlijk getal n, ook het getal n+1 hebt. Je kan dus (oneindig lang) opvolgers maken. Met je precisie N bedoel je de natuurlijk getallen, neem ik aan?

Telbaar oneindig
Volgens de huidige theorie zijn alle telbaar oneindige verzamelingen van de grootte |N|. Volgens dit beeld klopt dit niet. Bij deelverzamelingen van N, b.v. de even getallen, vergeet je dat je zojuist hebt ingezoomd en dat je nu weer de volledige precisie van het gereedschap tot je beschikking hebt. Bij verzamelingen als Z en Q vergeet je dat je net hebt uitgezoomd en je hebt weer dezelfde precisie tot je beschikking.
Je mag geen conclusies trekken uit 1-op-1 vergelijkingen tussen twee zoom-niveau's.
Deze verklaring kun je ook loslaten op de paradoxen van Bericht bekijken

Ontelbaar oneindig
Op de grootte |R| van het aantal punten op ieder willekeurig stuk lijn kun je hetzelfde mechanisme loslaten. Door het gereedschap recursief op een steeds kleiner stukje lijn los te laten blijf je elke keer weer een beeld met dezelfde precisie terugkrijgen.
Dit is het maximum dat je met het gereedschap kunt doen, een beschrijving met een precisie van N N keer recursief toepassen.
Deze verklaring kun je ook loslaten op Cantors beroemde Bericht bekijken
Resultaat van dit beeld
Dit eenvoudige beeld biedt de mogelijkheid om de groottes van oneindige verzamelingen weer de onderlinge verhoudingen te laten hebben die je zou verwachten. Het stelt je in staat om de Continuum Hypothese van Cantor te falsificeren.

Dit moet je toch ook duiden, wat zou ik volgens jou dan moeten verwachten?

Reality / Sanity check
Dit is een heel eenvoudig visueel beeld en de wiskunde op dit gebied is veel en veel complexer.
Ik ben maar een gewone prutser :D, dus (nog) niet in staat om dit beeld in de wiskundige of logische syntax om te zetten.
Maar ik vind het beeld wel heel erg krachtig.

Je moet mijn reactie dan ook positief zien (ik heb toch de tijd en moeite genomen, ook al lijkt de reactie misschien negatief :P). Je kan helaas niet goed aan wiskunde doen, als je de dingen niet precies formuleert. Zo kan ik zonder definitie van "jouw kardinaliteit", niet volgen/begrijpen wat jij waarschijnlijk bedoelt. Dat hoeft wat mij betreft niet eens in symbolen, een precieze definitie kan ook in woorden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2008 - 11:53

Je bedoelt dit misschien goed, maar "x = x + 1" omschrijft het niet goed (dit is een vergelijking met oplossing x = 0).

Uhm....

LaTeX
LaTeX
LaTeX

? :D

#4

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 november 2008 - 11:56

Er moet een schuin streepje door die nul :D
Quitters never win and winners never quit.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2008 - 12:04

Uhm....

LaTeX


LaTeX
LaTeX

? :P

Ik bedoelde het ook goed! Het is natuurlijk nog veel "erger" dan ik schreef, de vergelijking is strijdig :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

landheha

    landheha


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 november 2008 - 16:38

Uhm....

x = x + 1
0 = 0 + 1
0 = 1

? :D

Om maar met het kennelijk belangrijkste beginnen, ik verdien mijn brood in de automatisering.
x is hier bedoeld als een variabele waar steeds 1 bij opgeteld wordt. Ik ben niet netjes begonnen met "x = 0" omdat ik de tekst kort wilde houden. Mijn beperking, jullie vorm van humor.

Ja, ik bedoelde wat je zei, EvilBro en met N bedoel ik inderdaad de natuurlijke getallen, maar chips, ik kan nog steeds niet vinden hoe ik dat teken invoeg dat jij gebruikt.
(en nu apart de rest van het antwoord)

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2008 - 16:45

Ja, ik bedoelde wat je zei, EvilBro en met N bedoel ik inderdaad de natuurlijke getallen, maar chips, ik kan nog steeds niet vinden hoe ik dat teken invoeg dat jij gebruikt.
(en nu apart de rest van het antwoord)

Tussen rechte haken ([]) plaats je nn, voor de reŽle getallen rr: :D enzovoort.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

landheha

    landheha


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 november 2008 - 16:57

Thanks, ben nog aan het tikken...

#9

landheha

    landheha


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 november 2008 - 17:57

disclaimer
ik kreeg de foutmelding dat ik teveel smilies had in dit bericht...
Moest dus het nette gebruike van symbolen voor verzamelingen terugbrengen.
Als je een losse hoofdletter ziet. lees dat aub als de wiskundige verzameling met die letter

Cardinaliteit

Mijn definitie van cardinaliteit is dezelfde, een maat voor het aantal elementen in een set.

De "basis cardinaliteit" :D is voor mij een eigenschap van de tool wiskunde, niet noodzakelijk van het onderwerp dat beschouwd wordt, de set. Ik noem dit de precisie van de tool wiskunde. Vergelijk het met de resolutie van een scherm.

Daardoor kun je altijd een bi-jectie tussen twee apart bekeken onderwerpen maken in het oneindige.
Deze bi-jectie is echter volkomen betekenisloos.
Het is simpelweg de tool die je geen beperking oplegt, dat doet ze niet bij de oneven getallen, niet bij de natuurlijke getallen, niet bij de rationele getallen, niet bij een atoom, niet bij het heelal.
Elk willekeurig onderwerp kun je door de tool in N stukjes opdelen.
De "resolutie" van de tool wiskunde is immers altijd gelijk.

Ik hou de cardinaliteit als eigenschap van de set, niet van de tool.
Dus als je :P 1 noemt, dan komt bij mij de cardinaliteit van de even getallen gewoon op 1/2. De cardinaliteit van Z is naar mijn idee 1, want negatieve getallen 'bestaan niet'. Het is gewoon een kwestie van het 'nulpunt' ergens ander leggen. De cardinaliteit van :P ligt voor mij dus gewoon tussen die van N en R in. Zullen we de cardinaliteit van de lege set op 0 stellen?
Dit in tegenstelling van de CH, die stelt dat alleen |:D| en |:P| bestaan.

Dit onderscheid tussen 'eigenschap van de tool' en 'eigenschap van de set' maakt voor mij het begrip oneindigheid weer heel intuitief te begrijpen. Appeltje eitje.
De Aleph nummers doen dan netjes dienst als maat voor het algoritme waarmee de tool een bepaald probleem te lijf gaat.

Beperking |N| * |N|
In mijn beperkte kijk is dit het maximaal haalbare binnen de tool wiskunde, oneindig tellen binnen een oneindige recursie of iteratie. Per definitie gelijk aan de cardinaliteit van R.
Ik laat me hier graag in corrigeren.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2008 - 18:17

Ik vrees dat dit wat lastig gaat worden... Begrijp je hoe kardinaliteit normaal gezien gedefinieerd wordt en hoe het werkt?

Cardinaliteit[/b]Mijn definitie van cardinaliteit is dezelfde, een maat voor het aantal elementen in een set.

Je definitie kan niet hetzelfde zijn, want dan waren de resultaten ook dezelfde. Bovendien is wat jij hier geeft geen definitie - je zegt dat het een maat is, maar op welke manier? Met deze definitie kan ik de kardinaliteit van :D of van :P niet bepalen...

Daardoor kun je altijd een bi-jectie tussen twee apart bekeken onderwerpen maken in het oneindige.
Deze bi-jectie is echter volkomen betekenisloos.

Betekenisloos, want...? Je moet je stellingen proberen te onderbouwen.

Ik hou de cardinaliteit als eigenschap van de set, niet van de tool.
Dus als je :P 1 noemt, dan komt bij mij de cardinaliteit van de even getallen gewoon op 1/2. De cardinaliteit van Z is naar mijn idee 1, want negatieve getallen 'bestaan niet'. Het is gewoon een kwestie van het 'nulpunt' ergens ander leggen. De cardinaliteit van :? ligt voor mij dus gewoon tussen die van N en R in. Zullen we de cardinaliteit van de lege set op 0 stellen?

Dat kun je wel allemaal willen, maar hoe volgt dit uit jouw definitie? Dit is niet onderbouwd.

Dit in tegenstelling van de CH, die stelt dat alleen |:P| en |:P| bestaan.

Dat stelt de CH helemaal niet... Die stelt dat er geen kardinaliteit bestaat die strikt groter is dan |;)| maar strikt kleiner dan |:D|. Er bestaan zeker kardinaliteiten groter dan |;)|.

Beperking |N| * |N|
In mijn beperkte kijk is dit het maximaal haalbare binnen de tool wiskunde, oneindig tellen binnen een oneindige recursie of iteratie. Per definitie gelijk aan de cardinaliteit van R.
Ik laat me hier graag in corrigeren.

Ik kan een definitie niet corrigeren (die kies je immers zelf). Een mogelijke kritiek zou wel kunnen zijn dat een definitie niet zinvol is... Zo zie ik niet waarom het logisch is om de kardinaliteit van :D op die manier per definitie te stellen...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

landheha

    landheha


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 november 2008 - 22:25

[quote name='TD' post='461323' date='2 November 2008, 18:17']Je definitie kan niet hetzelfde zijn, want dan waren de resultaten ook dezelfde. Bovendien is wat jij hier geeft geen definitie - je zegt dat het een maat is, maar op welke manier? Met deze definitie kan ik de kardinaliteit van :P of van :D niet bepalen...[/quote]
Weer te kort door de bocht. Ik heb de eerste zin van het artikel over Bericht bekijken
Betekenisloos, want...? Je moet je stellingen proberen te onderbouwen.[/quote]
Dat doe ik in de regels van diezelfde alinea, waarin ik aan probeer te geven dat de bijectie bij telbaar oneindige sets het gevolg is van een eigenschap van de tool wiskunde, niet van een eigenschap van de set. Het lijkt me iets te gemakkelijk om daar zomaar met alleen deze reactie overheen te stappen. Het onderscheid dat ik aan probeer te geven kun je waarschijnlijk niet eens maken 'vanuit de wiskundige of logische afleidingsregels zelf'. Je bekijkt het proces of systeem immers van buiten af.

Ik denk niet dat ik iets verkeerds zeg als ik stel dat de wiskunde een tool is die je in staat stelt om elk gewenst object met een mogelijke precisie van :P te bekijken. De tool legt je geen beperkingen op, of je nu iets groots of kleins wilt bekijken.
Jammer dat je op deze uitspraak niet in wilt gaan, want het is de kern van het hele betoog.


Mijn opmerkingen over CH waren niet handig. Dit idee is ongeveer 3 jaar oud en ik heb CH niet opnieuw nagelezen. Niet handig van me om zomaar wat uit mijn geheugen te roepen. Ik moet dit eerst weer even nalezen.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2008 - 22:34

Ik lever kritiek op een bestaand iets. dat heeft op zich ook recht van spreken.
Desgewenst geef ik een idee 'hoe ik het dan zie', maar nee, geen definitie van dit alternatief. en dat gaat me vanavond niet lukken en zeer waarschijnlijk de hele week niet...

Uiteraard mag kritiek op een bestaand iets, ik ben dan ook bereid om met je in discussie te gaan hierover. Het feit dat jij nog geen alternatieve definitie hebt/geeft van kardinaliteit is ook niet erg, maar zorgt er wel voor dat ik (nog) niet helemaal begrijp hoe jij aan je kardinaliteiten komt van enkele van de genoemde verzamelingen.

Dat doe ik in de regels van diezelfde alinea, waarin ik aan probeer te geven dat de bijectie bij telbaar oneindige sets het gevolg is van een eigenschap van de tool wiskunde, niet van een eigenschap van de set. Het lijkt me iets te gemakkelijk om daar zomaar met alleen deze reactie overheen te stappen.

Ik wil me nergens (gemakkelijk) van af maken, maar als jij stelt dat de definities met bijecties (voor gelijke kardinaliteit) betekenisloos zijn, dan ben ik benieuwd naar je onderbouwing. Nu zeg je dat je die al gegeven hebt, maar dan begrijp ik je argumentatie toch (nog) niet goed.

Ik denk niet dat ik iets verkeerds zeg als ik stel dat de wiskunde een tool is die je in staat stelt om elk gewenst object met een mogelijke precisie van :D te bekijken. De tool legt je geen beperkingen op, of je nu iets groots of kleins wilt bekijken.
Jammer dat je op deze uitspraak niet in wilt gaan, want het is de kern van het hele betoog.

De voornaamste reden waarom ik niet echt in kan gaan op je concept van "zoomen", "precisie", "de tool in plaats van de set" is omdat ik (nog?) niet goed begrijp wat je hier allemaal mee bedoelt. Heldere definities zouden hierbij kunnen helpen, maar zoals je al aangaf heb je die misschien nog niet.

Mijn opmerkingen over CH waren niet handig. Dit idee is ongeveer 3 jaar oud en ik heb CH niet opnieuw nagelezen. Niet handig van me om zomaar wat uit mijn geheugen te roepen. Ik moet dit eerst weer even nalezen.

Dat lijkt me een goed idee, misschien dat je best de theorie van de kardinalen in z'n geheel nog even bekijkt - dat is niet verkeerd bedoeld, het zal je ook helpen om jouw (alternatieve) gedachten te ordenen en beter te formuleren.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

landheha

    landheha


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 november 2008 - 23:38

Jammer.
Ergens ben ik bang dat een formulering als 'de cardinaliteit :D is een eigenschap van de tool en niet zozeer van het onderwerp van studie' niet veel scherper gaat worden.
Ik ben hier drie jaar geleden ingestruikeld na het herlezen van Godel, Escher,Bach. Ik heb toen alles wat ik kon vinden in de bieb en op het internet doorgenomen. Dit is de vorm waarin ik het beeld dat ik had het best kon beschrijven. Ik ben me ervan bewust dat het een beeld is, een analogie, niet precies.
Ik heb me toen vertild aan het boek From Frege to Godel van van Heinaart. Ik dacht dat wel zou lukken, omdat ik vroeger op de middelbare school alles al heb gelezen van Bertrand Russell, behalve Principia Matematica dan, want daar was geen doorkomen aan. Frege heb ik toen ook gelezen. Enige affiniteit met het onderwerp was dus wel aanwezig. Jammer dan. Ik heb dus via Amazon een rijtje boeken op de plank over logica en set theorie, van beginner omhoog. Van beginner al een paar doorgewerkt.
Ik hoopte alleen nog met de oorspronkelijke tekst weg te komen. Het gaat mij om het idee, het helder worden van paradoxen. Als iemand met meer vakkennis er ook wat in ziet, 'take it away', mij zul je niet horen klagen.
Ik hobbel gewoon door, maar ik heb alleen een paar avonduurtjes en een een zwak voor zijpaden. Nu 'tijd'.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2008 - 23:45

Jammer? Ik wil je niet ontmoedigen.

Aangeraden leesmateriaal: "Introduction to set theory" van Hrbacek en Jech, of "Set theory" van Jech alleen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

landheha

    landheha


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 november 2008 - 00:22

Ja jammer, want ik zou het fijn vinden als iemand met echte vakkennis dit alternatieve beeld onderzocht. Scheelt toch bakken met tijd, want het duurt nog wel even voordat ik op niveau kan communiceren. Om zo'n beeld geaccepteerd te krijgen moet je de taal van het vakgebied spreken. Daar zij we het wel over eens, denk ik. Deze herhaalde poging in gewone taal beschouw ik voorlopig weer als mislukt.

Op dit punt kun je me echter niet ontmoedigen, TD, wees niet bang.
Dit moet tot een goed eind komen.
Misschien moet ik 'tijd' ook maar in de bittenbak gooien, maar misschien ook niet, want het hangt allemaal op ons denken, ons bewustzijn. Wat kan het , wat zijn de mogelijkheden en onmogelijkheden...
Bedankt voor de boekentips.

Veranderd door landheha, 03 november 2008 - 00:24






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures