[wiskunde] differentiaalvergelijking controle

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 02-11-'08, 17:10

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

[wiskunde] differentiaalvergelijking controle

Ik wil graag even mijn antwoord op volgende differentiaalvergelijking controleren:
\(y'' -2y' +3y = 2e^{-3x}\)
Hom vgl:
\(y'' -2y' +3y = 0\)
Stel
\(y = e^{\lambda x}\)

\(\lambda^2 -2\lambda +3 = 0 \Leftrightarrow \lambda = 1+i\sqrt2 of \lambda = 1-i\sqrt2\)

\(yh = c1(1+i\sqrt2) + c2(1-i\sqrt2)\)
Particuliere opl:

Stel
\(y = Ae^{-3x}\)

\(9A + 6A + 3A = 2 \Leftrightarrow A = 1/9\)
\(yp = \frac{e^{-3x}}{9}\)
\(y = yp + yh = \frac{e^{-3x}}{9} + c1(1+i\sqrt2) + c2(1-i\sqrt2)\)
Omhoog

Bericht 02-11-'08, 17:15

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] differentiaalvergelijking controle

\(yh = c1(1+i\sqrt2) + c2(1-i\sqrt2)\)
Deze klopt!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 02-11-'08, 17:18

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: [wiskunde] differentiaalvergelijking controle

\(yh = c1* e^{(1+i\sqrt2)x} + c2*e^{(1-i\sqrt2)x}\)


Zo zou het wel moeten kloppen?
Omhoog

Bericht 02-11-'08, 17:19

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] differentiaalvergelijking controle

Inderdaad. Als je de complexe exponenten wil vermijden, kan je de oplossing schrijven als lineaire combinatie van sinus en cosinus - maar zo is ook prima.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 02-11-'08, 18:52

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: [wiskunde] differentiaalvergelijking controle

Nog eentje:
\(x^2y' = 1-x^2+y^2-x^2y^2\)
\(x^2(y'+1+y^2)=1+y^2\)
\(x^2=\frac{1+y^2}{(y'+1+y^2)}\)
\(x^2=\frac{1+y^2 + y' - y'}{(y'+1+y^2)}\)
\(x^2=1 - \frac{y'}{(y'+1+y^2)} = 1-y'-\frac{y'}{y^2}-1\)
Uitwerken en integreren geeft:
\(\frac{x^3}{3} + c = -y + \frac 1 y\)
Ik merk net op dat mijn laatste stap voor het integreren compleet fout is, heeft iemand een andere suggestie?
Omhoog

Bericht 02-11-'08, 19:13

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] differentiaalvergelijking controle

\(x^2y' = 1-x^2+y^2-x^2y^2\)
Rechterlid: 1-x² + y²(1-x²) = (1-x²)(1+y²). Helpt dat?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 02-11-'08, 19:30

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: [wiskunde] differentiaalvergelijking controle

Rechterlid: 1-x² + y²(1-x²) = (1-x²)(1+y²). Helpt dat?
Ik heb verder kunnen vereenvoudigen tot iets integreerbaars :D

Ik begin een beetje te stressen dus sorry voor de vele vragen, maar kan je bij de volgende ook even helpen aub?
\(y'' + y' - 2y = cosh(x)\)
Voor de hom vgl vind ik:
\(yh = c1* e^{-2x} + c2*e^{x}\)
Maar ik weet niet hoe ik de particuliere vind :s
Omhoog

Bericht 02-11-'08, 19:34

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] differentiaalvergelijking controle

Kan je cosh(x) niet anders schrijven, met behulp van e-machten?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 02-11-'08, 19:36

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: [wiskunde] differentiaalvergelijking controle

Kan je cosh(x) niet anders schrijven, met behulp van e-machten?


Ja, maar dan weet ik nog niet hoe verder te gaan.
Omhoog

Bericht 02-11-'08, 19:39

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] differentiaalvergelijking controle

Dan kan je toch zelf een voorstel doen voor de particuliere oplossing?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 02-11-'08, 19:42

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: [wiskunde] differentiaalvergelijking controle

Dan kan je toch zelf een voorstel doen voor de particuliere oplossing?
yp = Ae^x + Be^-x ?

Ik weet niet zeker
Omhoog

Bericht 02-11-'08, 19:43

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] differentiaalvergelijking controle

In eerste instantie zou je dat denken, maar ex zit ook al vervat in de homogene oplossing: wat is dan de aangewezen truc?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 02-11-'08, 19:46

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: [wiskunde] differentiaalvergelijking controle

In eerste instantie zou je dat denken, maar ex zit ook al vervat in de homogene oplossing: wat is dan de aangewezen truc?
yp= Ax e^x?

En er is er weer een bijgekomen:

yp voor: y''+py = x*sin(x) ?
Omhoog

Bericht 02-11-'08, 19:52

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] differentiaalvergelijking controle

Inderdaad, maar die met -x blijft er ook staan. Stel dus voor: yp = A.e-x + B.x.ex.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 02-11-'08, 19:55

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: [wiskunde] differentiaalvergelijking controle

Inderdaad, die komt erbij. Stel dus voor: yp = A.e-x + B.ex + C.x.ex.


Thx

Lol, das een lange, ik had net mijn vorig bericht gewijzigd voor je postte: daar staat een nieuwe gezochte yp.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”