Sum(1/i^2,i,1,infinity)=pi^2/6

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 829

Sum(1/i^2,i,1,infinity)=pi^2/6

Vandaag had ik een hoorcollege wiskunde over rijen en reeksen. Nu bespraken we op een gegeven moment de harmonische rij. Op zich niets vreemds aan. Ook dat die reeks divergeert was niets nieuws voor mij. Tot we bij de harmonische rij 1/i^2 aankwamen. dat de reeks convergeert is zeer normaal. Alles wat sneller daalt dan 1/i blijkt meestal te convergeren. Maar deze rij convergeert naar pi^2/6. Voor alle duidelijkheid, daar waren we tijdens het hoorcollege niet meer mee bezig. M'n intresse was gewekt, en vervolgens zocht ik de reeks van 1/i^4. Deze convergeert naar pi^4/90. Na nog een paar reeksen te proberen kwam ik tot het volgend besluit:
\(n \in 2 \nn \Leftrightarrow \sum_{i=1}^\infty{\frac{1}{i^n}}=\frac{\pi^n}{?}\)
we weten dat:
\(\pi = 4\sum_{i=0}^\infty{\frac{(-1)^i}{2i+1}}=4+4\sum_{i=1}^\infty{\frac{(-1)^i}{2i+1}}\)
Dus volgens mij is de eerste stap in het bewijs stellen dat:
\(\sum_{i=1}^\infty{\frac{1}{i^n}}=\frac{(4+4\sum_{i=1}^\infty{\frac{(-1)^i}{2i+1}})^n}{?}\)
Geraakt iemand verder in het bewijs, of weet iemand hoe ik dat ? in functie van n kan schrijven?
"Als je niet leeft zoals je denkt, zul je snel gaan denken zoals je leeft."

--Vladimir Lenin-- (Владимир Ильич Ульянов)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Sum(1/i^2,i,1,infinity)=pi^2/6

Je kan het schrijven in functie van de Bernouilli-getallen, zie hier of ook hier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 829

Re: Sum(1/i^2,i,1,infinity)=pi^2/6

Bedankt, ik dacht eventjes dat ik iets had ontdekt, maar men was mij weer eens voor. Waarom kon ik niet eens 200j geleden geboren zijn.
"Als je niet leeft zoals je denkt, zul je snel gaan denken zoals je leeft."

--Vladimir Lenin-- (Владимир Ильич Ульянов)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Sum(1/i^2,i,1,infinity)=pi^2/6

Er zijn al bijzonder interessante tijden geweest, maar er zijn vast nog leuke dingen te 'ontdekken' :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer