r = rekenkundig gemiddelde van de factoren van g (inclusief 1 en g)
h = harmonisch gemiddelde van de factoren van g (inclusief 1 en g)
Ik heb ontdekt, dat voor zeer veel getallen g geldt, dat hr = g.
Mijn vermoeden is, dat dit algemeen geldig is voor alle positieve gehele getallen g.
Kan één van jullie dit vermoeden of het tegendeel bewijzen?
Laatste berichten
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
00:15
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
21:15
Weerfrustratie 9
-
18:08
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Gemiddelden van delers
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 6.905
Re: Gemiddelden van delers
Bedoel je met de factoren de priemfactoren?
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
-
- Berichten: 3.112
Re: Gemiddelden van delers
Factoren zijn delers. Priemfactoren vormen slechts een deelverzameling van de delers. Ik bedoel alle delers. Dus ook, zoals ik aangaf, 1 en het getal zelf.Bedoel je met de factoren de priemfactoren?
-
- Berichten: 8.614
Re: Gemiddelden van delers
Als g een priemgetal is gaat je stelling alvast op. De delers van een willekeurig priemgetal g zijn namelijk 1 en g.
Het harmonisch gemiddelde van deze delers bedraagt
Het rekenkundig gemiddelde van deze delers bedraagt
Het product van deze gemiddelden wordt dan het volgende:
Het harmonisch gemiddelde van deze delers bedraagt
\(\frac{2g}{g + 1}\)
.Het rekenkundig gemiddelde van deze delers bedraagt
\(\frac{g + 1}{2}\)
.Het product van deze gemiddelden wordt dan het volgende:
\(hr = \frac{2g}{g + 1} \cdot \frac{g + 1}{2} = \frac{2g}{2} = g\)
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
-
- Berichten: 3.112
Re: Gemiddelden van delers
En dan nu nog de samengestelde getallen.Als g een priemgetal is gaat je stelling alvast op.
Ter aanvulling: in geval van een kwadraat krijgt de wortel gewicht 2. De overige factoren hebben dan gewicht 1.
Zo heeft elk getal een even aantal delers.
Elke factor heeft een cofactor: --- getal = factor x cofactor.
-
- Berichten: 5.679
Re: Gemiddelden van delers
Noem de factoren van g: f1, f2, ... fn
Er geldt nu:
en
En omdat iedere
Dus die laatste uitdrukking hierboven van rh is gelijk aan:
Er geldt nu:
\(r = \frac{f_1+f_2+\cdots+f_n}{n}\)
en
\(h = \frac{1}{\frac{1}{n} (\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}+\cdots+\frac{1}{f_n}) } = \frac{n}{ \frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}+\cdots+\frac{1}{f_n} }\)
Als je nu rh bekijkt krijg je:\(rh = \frac{f_1+f_2+\cdots+f_n}{ \frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}+\cdots+\frac{1}{f_n} }\)
Dit mogen we vermenigvuldigen met \(\frac{g}{g}\)
:\(rh = \frac{g}{g} \cdot \frac{f_1+f_2+\cdots+f_n}{ \frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}+\cdots+\frac{1}{f_n} } = g \cdot \frac{f_1+f_2+\cdots+f_n}{ \frac{g}{f_1}+\frac{g}{f_2}+\cdots+\frac{g}{f_n} }\)
Maar aangezien iedere \(f_i\)
een factor van g is, is ieder van die termen \(\frac{g}{f_i}\)
onder de breuk per definitie ook een factor van g.En omdat iedere
\(f_i\)
een unieke factor is en zij tezamen alle factoren vormen, vormen die \(\frac{g}{f_i}\)
ook precies alle factoren (om precies te zijn: \(\frac{g}{f_i}=f_{n+1-i}\)
als de factoren \(f_i\)
oplopend zijn van \(f_1=1\)
t/m \(f_n=g\)
).Dus die laatste uitdrukking hierboven van rh is gelijk aan:
\(rh = g \cdot \frac{f_1+f_2+\cdots+f_n}{ f_n+f_{n-1}+\cdots+f_1 } = g\)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 8.614
Re: Gemiddelden van delers
De stelling gaat inderdaad op. Ik had gisteren ook al een bewijsje klaar, maar het was te laat om het nog te plaatsen. Hierbij dus:
We nummeren de delers van g als volgt:
Het rekenkundig gemiddelde van de delers van g wordt dan
Het harmonisch gemiddelde van de delers van g wordt dan
Het product van de gemiddelden wordt dan:
We nummeren de delers van g als volgt:
\(d_1,\ d_2,\ d_3,\ \cdots,\ d_n\)
met \(d_1 = 1\)
en \(d_n = g\)
. Het aantal delers noemen we n.Het rekenkundig gemiddelde van de delers van g wordt dan
\(r = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n d_i\)
.Het harmonisch gemiddelde van de delers van g wordt dan
\(h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{d_i}}\)
.Het product van de gemiddelden wordt dan:
\(hr = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n d_i \cdot \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{d_i}} = \frac{\sum_{i=1}^n d_i}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{d_i}} = \frac{d_1 + d_2 + d_3 + \cdots + d_n}{\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} + \frac{1}{d_3} + \cdots + \frac{1}{d_n}} = \frac{d_1 + d_2 + d_3 + \cdots + d_n}{\frac{d_1 + d_2 + d_3 + \cdots + d_n}{d_n}} = d_n = g\)
QEDGeloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
-
- Berichten: 3.112
Re: Gemiddelden van delers
@Rogier & @ Klintersaas. Prachtige bewijzen. Bedankt.
Het vermoeden is nu omgezet in een stelling die ik overigens nooit eerder heb gezien.
Het vermoeden is nu omgezet in een stelling die ik overigens nooit eerder heb gezien.
