Springen naar inhoud

[wiskunde] uniforme convergentie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 november 2008 - 19:03



Ik denk dat ik theorem 6.3.3 moet toepassen dus ik heb erbij gezet (maar ik weet niet of het nodig is).


Ik heb gevonden dat:

LaTeX

Maar betreffende de uniforme convergentie moet ik LaTeX uitrekenen of theorem 6.3.3 toepassen?
Quitters never win and winners never quit.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 december 2008 - 04:11

Het Cauchy-criterium gebruik je doorgaans wanneer je op voorhand niet weet naar welke functie f_n convergeert. Hier is echter makkelijk in te zien dat f_n puntsgewijs naar de constante functie 0 convergeert, zoals je zelf al zei (sterker nog, het stond al in de opgave). Nu hoef je alleen nog na te gaan dat de convergentie ook uniform is:
Zij e>0. We willen een N vinden zodat voor alle n>=N geldt, dat voor alle t in [0,1] tegelijkertijd |f_n(t)-0|=|f_n(t)|<e

Voor t=0 voldoet iedere N, immers LaTeX voor iedere e>0.

Zij nu LaTeX , zodat LaTeX (strikt kleiner). Dus er is een m>1 zodat LaTeX voor alle t in ]0,1].
Omdat LaTeX is er een M>0 zodat LaTeX voor alle t in [0,1] (dus ook voor t in ]0,1]).
Dan geldt voor alle LaTeX : LaTeX .
Kies LaTeX (dus log met grondtal 1/m).

Merk op dat de gekozen N onafhankelijk is van t, dus de convergentie is uniform.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 december 2008 - 05:06

\\edit: ik geloof dat het toch niet klopt. In deze uitspraak:

Dus er is een m>1 zodat LaTeX

voor alle t in ]0,1].

doe ik net alsof m niet van t afhangt, maar in feite is dat juist wel zo. Hoe meer t naar 0 nadert (van boven), hoe meer m naar 1 nadert (van boven). Dus voor kleinere t, moet je telkens m bijstellen (naar beneden), en dus wordt N op zijn beurt bijgesteld (naar boven), wat nu net niet de bedoeling is :D

Als die g(t) er niet was, dan zou f_n ook zeker niet uniform convergeren, want (1-t)^n convergeert naar de functie die 0 is als t in ]0,1] en 1 als t=0, naar een discontinue functie dus.
Maar g(t) is er wel, zodat g(0)=0, dus hij verhelpt het moeilijke punt t=0 zodat f_n naar de continue functie 0 convergeert. Ik zie nog niet in dat die convergentie uniform is. Je moet op de een of andere manier nog gebruiken dat g(t) slechts op continu-differentieerbare wijze van g(0)=0 naar M mag stijgen voor t<0. Ik zie nog niet hoe ik dat kan hardmaken. Ben benieuwd... (nu ga ik slapen, pff)
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 december 2008 - 00:52

Het houdt me wel bezig zeg. Intrigerende opgave. Aanzet tot een fix van mijn vorige bewijs:
g(t) is continu op [0,1], dus voor alle t,t0 in [0,1] geldt:
LaTeX is er een LaTeX zodat LaTeX
Specifiek in het punt t0=0:
LaTeX is er een LaTeX zodat LaTeX

Het idee is dus als volgt: voor uniforme convergentie naar de functie 0, willen we voor alle t tegelijk dat voor iedere e>0, LaTeX onder de lijn y=f+e=e en boven y=f-e=-e krijgen, door maar ver genoeg in de rij LaTeX te kijken. Amateuristisch plaatje:
unif.JPG

In de buurt van t=0 zorgt het feit dat g(0)=0 ťn dat g(t) continu is in 0, dat LaTeX willekeurig klein gemaakt wordt, door t maar dicht genoeg bij 0 te kiezen. Voor t uit de buurt van 0, zorgt |1-t|^n er op zijn beurt voor dat LaTeX klein gemaakt kan worden, namelijk door n maar groot genoeg te kiezen. Deze twee moeten we zien te combineren.
Zij LaTeX willekeurig. Drie intervallen:
1) Zoals gezegd werkt voor t=0 iedere N.
2) Zij nu LaTeX . Dan geeft zoals gezegd continuÔteit van g in 0 dat geldt LaTeX , waarbij LaTeX afhangt van LaTeX . Verder geldt dan dat LaTeX
Samen: LaTeX . Kies nu LaTeX
3) Zij nu LaTeX , dan LaTeX , en noem LaTeX .
Dan geldt LaTeX . Kies nu LaTeX

Dus LaTeX werkt voor alle t tegelijk. LaTeX hangt weliswaar af van LaTeX , maar niet van t, en daar gaat het om. Dus N_1, N_2, en derhalve N, hangen volgens mij niet van t af.
De enige twijfel die ik nu nog heb, is het opsplitsen van het interval in drie gebieden. Daardoor hangt t wel enigszins af van delta. En misschien kun je het dan weer omdraaien zodat delta van t afhangt. Je kunt eta kiezen, waardoor delta vastligt, waardoor t vastligt. Maar N hangt weer af van eta. Confusing. Schept iemand helderheid?

Ik heb het vermoeden dat ik nogal ingewikkeld bezig ben, maar goed. Ik hoor het wel wat men hierop aan te merken heeft.

Ik ga dit trouwens even verplaatsen naar Wiskunde.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures