Inverse
-
- Berichten: 817
Re: Inverse
Nou, ik begin eerlijk gezegd zelf te denken dat het behoorlijk ingewikkelder is als ik eerst dacht.
Ik kom in ieder geval uit:
Ben je zeker dat deze functie een inverse heeft?
Hopelijk kan iemand anders meer inzicht bieden.
ps: sorry voor dubbelpost, kon blijkbaar niet meer editten.
Ik kom in ieder geval uit:
\( x - ln(x) = ln(y).\)
Maar ik betwijfel of dat het antwoord is dat men zoekt.Ben je zeker dat deze functie een inverse heeft?
Hopelijk kan iemand anders meer inzicht bieden.
ps: sorry voor dubbelpost, kon blijkbaar niet meer editten.
"Beep...beep...beep...beep"
~Sputnik I
~Sputnik I
- Berichten: 7.556
Re: Inverse
Dat is inderdaad niet het antwoord dat men zoekt. Ten eerste is dit geen functie, en tweede is dit simpelweg een andere notatie voor de vergelijking y=e^x/x, immers neem de log aan beide zijden en je komt op jouw vergelijking uit.ToonB schreef:Ik kom in ieder geval uit:
\( x - ln(x) = ln(y).\)Maar ik betwijfel of dat het antwoord is dat men zoekt.
Wat je zou willen, is y=e^x/x oplossen voor x, en vervolgens y en x verwisselen. Je kunt y=e^x/x echter niet oplossen naar x in elementaire functies. Je kunt hier dan ook geen inverse voor opschrijven.
Ik heb het bericht verwijderd.ps: sorry voor dubbelpost, kon blijkbaar niet meer editten.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
Re: Inverse
Een exacte inverse is expliciet niet te geven.
Ik kan wel een benadering geven van $x$ als functie van $y$:
Dus
Nu is
Als
Dus vanaf nu zullen we veronderstellen dat
Dan is
Dan is
Nu hebben we
Neem logaritmes aan beide zijden:
Substituteer dit resultaat in
Ik kan wel een benadering geven van $x$ als functie van $y$:
\(f(x) = \frac {e^x}{x}\)
is een strikt stijgende functie op \([1,\infty)\)
(dit is makkelijk te controleren door een functieonderzoek) en \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\)
.Dus
\(yx = e^x\)
heeft precies één oplossing voor grote \(y\)
.Nu is
\(x = \log(y) + \log(x)\)
.Als
\(x > 1\)
dan is \(x > \log(y) > 2\)
voor \(y\)
groot genoeg.Dus vanaf nu zullen we veronderstellen dat
\(x > 2\)
.Dan is
\(\log(x) < \frac12 x\)
en \(x = \log(y) + \log(x) < \log(y) + \frac12 x\)
.Dan is
\(\frac12 x < \log(y)\)
en \(\log(x) < \log(2) + \log(\log(y))\)
.Nu hebben we
\(x = \log(y) + \log(x) = \log(y) + O(\log(\log(y))\)
.Neem logaritmes aan beide zijden:
\(\log(x) = \log( \log(y) + O(\log(\log(y))) = \log(\log(y)) + \log(1 + O(\frac {\log(\log(y))}{\log(y)}))\)
\(= \log(\log(y)) + O(\frac {\log(\log(y))}{\log(y)})\)
.Substituteer dit resultaat in
\(x = \log(y) + \log(x)\)
.\(x = \log(y) + \log(x) = \log(y) + \log(\log(y)) + O(\frac {\log(\log(y))}{\log(y)})\)
.Re: Inverse
De inverse is
Hierbij is
\(y = \log(x f(x))\)
(\(x \ge e\)
).Hierbij is
\(f_1(x) = \log(x)\)
,\(f_n(x) = \log(x f_{n-1}(x))\)
voor \(n>1\)
en\(f(x) = \lim_{n \to \infty}f_n(x)\)
-
- Berichten: 58
Re: Inverse
Blijkbaar is de inverse berekenen van die functie heel wat moeilijker dan ik dacht; ik zal een andere manier moeten vinden om aan de oplossing van mijn vraagstuk te komen. Toch bedankt voor de hulp.
edit: ik zit in 6 ASO
edit: ik zit in 6 ASO
- Berichten: 6.905
Re: Inverse
Indien dit tot een vraagstuk behoort mag je altijd het volledige vraagstuk posten; dan kunnen we je misschien op weg zetten.
Hoe kom je op deze reeks? (Staat het trouwens los van je andere post)PeterPan schreef:De inverse is\(y = \log(x f(x))\)(\(x \ge e\)).
Hierbij is
\(f_1(x) = \log(x)\),
\(f_n(x) = \log(x f_{n-1}(x))\)voor\(n>1\)en
\(f(x) = \lim_{n \to \infty}f_n(x)\)
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
-
- Berichten: 4.246
Re: Inverse
En hoe weet je dat hij convergeert? Dat is een rij van functies...
Quitters never win and winners never quit.
Re: Inverse
Als
dan is
De rij functies zijn puntsgewijs strikt stijgend op
en inductief kun je aantonen dat
\(x = \frac{e^y}{y}\)
,dan is
\(y = \log(xy) = \log(x (\log(xy)) = \log(x (\log(x\log(xy))) = \log(x (\log(x\log(x \cdots ))) \)
.De rij functies zijn puntsgewijs strikt stijgend op
\([e,\infty)\)
,en inductief kun je aantonen dat
\(f_n(x) < \ln(x^2)\)
voor alle \(n\)
.-
- Berichten: 4.246
Re: Inverse
Dit impliceert puntsgewijze convergentie wat je nodig hebt is uniforme convergentie:PeterPan schreef:De rij functies zijn puntsgewijs strikt stijgend op\([e,\infty)\),
en inductief kun je aantonen dat\(f_n(x) < \ln(x^2)\)voor alle\(n\).
\( \lim_{n \rightarrow \infty } ||f-f_n||_{\infty}=0 \)
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 481
Re: Inverse
Ik citeer Mathematica:
x -> -ProductLog[-(1/y)]
Waarbij:
ProductLog[z]
gives the principal solution for w in z=we^w.
x -> -ProductLog[-(1/y)]
Waarbij:
ProductLog[z]
gives the principal solution for w in z=we^w.
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just **** urself..
Correct me if I'm wrong.
Correct me if I'm wrong.
- Berichten: 6.905
Re: Inverse
Inderdaad:
stel x=-u dan staat er:
stel x=-u dan staat er:
\(-y = \frac{e^{-u}}{ u} \)
\(ue^u = -\frac 1y\)
\( u = W(-\frac 1y)\)
dus\( x = -W(-\frac 1y)\)
Nu is de vraag wat we verstaan onder de inverse. Moet dit dan met elementaire functies?Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
- Berichten: 7.556
Re: Inverse
Wat je zou willen, is y=e^x/x oplossen voor x, en vervolgens y en x verwisselen. Je kunt y=e^x/x echter niet oplossen naar x in elementaire functies. Je kunt hier dan ook geen inverse voor opschrijven.
Lijkt me wel ja; dit is een beetje als zeggen "de oplossing is de oplossing die voldoet aan deze vergelijking" en het dan een andere naam geven; een tautologie dus. De Lambert-W is immers per definitie de functie die de inverse is van de door TS gegeven functie. klikNu is de vraag wat we verstaan onder de inverse. Moet dit dan met elementaire functies?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
- Berichten: 6.905
Re: Inverse
Tja, dan hebben we de "inverse" gevonden.
Als ik het goed zie, kan PeterPan op die manier de LambertW uitrekenen een getal op een recursieve manier?
Als ik het goed zie, kan PeterPan op die manier de LambertW uitrekenen een getal op een recursieve manier?
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Re: Inverse
Sinds wanneer?dirkwb schreef:Dit impliceert puntsgewijze convergentie wat je nodig hebt is uniforme convergentie:
\( \lim_{n \rightarrow \infty } ||f-f_n||_{\infty}=0 \)