[wiskunde] limieten zonder de l'hopital

Lavian

hey,

Hoe bereken je limx ->0 tan3(X)/ 5.sin(4x) zonder de regel van de l'hôpital te gebruiken?

Alvast bedankt

Klintersaas

Deel teller en noemer door x.

Lavian

maar dan krijg je toch lim x->0 tan 3/ 5.sin 4 ?

Drieske

Hoort die x dan niet bij je sin en je tan? :s

Burgie

Pas de volgende identiteit toe op de sinus in de noemer

\(\sin{2 x} = 2 \sin{x} \cos{x}\)

, en vervang de tangens in de teller door hem te schrijven als een quotiënt (

\(\tan{x} = \frac{ \sin{x} }{ \cos{x} }\)

). Nu kan je een 'lastige' factor schrappen in je limiet.

Safe

Ken je de standaardlim van sin en tan? Zo ja, schrijf ze even op voor dit forum.

Wat betekent eigenlijk tan3(x) of bedoel je tan(3x)?

Klintersaas

Ik moest daarstraks dringend weg, dus kon ik niet uitgebreider antwoorden.

Je kent waarschijnlijk de standaardlimieten

\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\)

en

\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1\)

. Alleen heb je hier niets van die vorm. Hoe vorm je

\(\tan(3x)\)

om tot

\(\frac{\tan(3x)}{x}\)

? Door te delen door x. Hetzelfde doe je in de noemer om de hele zaak in evenwicht te houden (en het komt nog goed uit ook, want zo heb je meteen

\(\sin(4x)\)

omgevormd tot

\(\frac{\sin(4x)}{x}\)

).

Nu heb je

\(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\tan(3x)}{x}}{\frac{5\sin(4x)}{x}}\)

. Ga nu over tot de limiet.

dirkwb

Wat nu als hij bedoelt:

\( \lim_{x \rightarrow 0}\ \frac{ \tan^3(x)}{5 \sin(4x)}\)

Drieske

Klintersaas schreef:Ik moest daarstraks dringend weg, dus kon ik niet uitgebreider antwoorden.

Je kent waarschijnlijk de standaardlimieten
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\)
en
\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1\)
. Alleen heb je hier niets van die vorm. Hoe vorm je
\(\tan(3x)\)
om tot
\(\frac{\tan(3x)}{x}\)
? Door te delen door x. Hetzelfde doe je in de noemer om de hele zaak in evenwicht te houden (en het komt nog goed uit ook, want zo heb je meteen
\(\sin(4x)\)
omgevormd tot
\(\frac{\sin(4x)}{x}\)
).

Nu heb je
\(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\tan(3x)}{x}}{\frac{5\sin(4x)}{x}}\)
. Ga nu over tot de limiet.

Een klein detail: je moet krijgen

\(\frac{\sin(4x)}{4x}\)

en idem voor de tan; maar dit geeft geen grote bijkomende problemen

Heb btw nog een tweede manier gevonden als je deze standaardlimieten niet kent

\(\tan (3x) = \frac{3\tanx-\tan³x}{1-3*\tan²x} = \frac{\tanx*(3-\tan²x)}{1-3*\tan²x} = \frac{\sinx*(3-\tan²x)}{\cosx*(1-3*\tan²x)}\)

en

\(\sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x) = 4 \sinx \cosx \cos(2x)\)

.

Dus:

\(\frac {\tan3x}{\sin4x} = \frac{\frac{\sinx*(3-\tan²x)}{\cosx*(1-3*\tan²x)}}{4 \sinx \cosx \cos(2x)} = \frac{3-\tan²x}{4*\cos²x*\cos(2x)*(1-3*\tan²x)}\)

.

Dit nu in de limiet invullen geeft het gevraagde

PS heb deze formules van hier

EDIT: srry dat het niet zo "proper" is allemaal

Klintersaas

Een klein detail: je moet krijgen
\(\frac{\sin(4x)}{4x}\)
Heb btw nog een tweede manier gevonden als je deze standaardlimieten niet kent
Gaat ook, maar is veel omslachtiger. Bovendien kent men de standaardlimieten normaal wel als men dergelijke oefeningen voorgeschoteld krijgt.

Dus:
\(\frac {tan3x}{sin4x} \)
EDIT: srry dat het niet zo "proper" is allemaal
LaTeX-tip: Zet een backslash voor de codes voor sinus, cosinus en tangens. LaTeX herkent ze dan als functies en drukt ze niet langer cursief (als een product van variabelen) af.

Drieske

LaTeX-tip: Zet een backslash voor de codes voor sinus, cosinus en tangens. LaTeX herkent ze dan als functies en drukt ze niet langer cursief (als een product van variabelen) af.

Bedankt!!!

Klintersaas

dirkwb schreef:Wat nu als hij bedoelt:

\( \lim_{x \rightarrow 0}\ \frac{ \tan^3(x)}{5 \sin(4x)}\)

Splitsen in:

\(\lim_{x \to 0}\ \frac{\tan(x)}{5\sin(4x)} \cdot \tan^2(x) = \lim_{x \to 0}\ \frac{\tan(x)}{5\sin(4x)} \cdot \lim_{x \to 0}\ \tan^2(x)\)

Burgie

dirkwb schreef:Wat nu als hij bedoelt:

\( \lim_{x \rightarrow 0}\ \frac{ \tan^3(x)}{5 \sin(4x)}\)

Zie mijn post hierboven.

Klintersaas

EDIT t.a.v. Drieske: Bij het aanpassen van je bericht na mijn LaTeX-tip zijn er enkele zaken verloren gegaan. Dit komt omdat je bijvoorbeeld schreef \tanx, wat LaTeX niet herkent. Beter zijn \tan x, \tan{x} of \tan(x).

dirkwb

Klintersaas schreef:Splitsen in:

\(\lim_{x \to 0}\ \frac{\tan(x)}{5\sin(4x)} \cdot \tan^2(x) = \lim_{x \to 0}\ \frac{\tan(x)}{5\sin(4x)} \cdot \lim_{x \to 0}\ \tan^2(x)\)

Ach natuurlijk

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] limieten zonder de l'hopital

[wiskunde] limieten zonder de l'hopital

Re: [wiskunde] limieten zonder de l'hopital

Re: [wiskunde] limieten zonder de l'hopital

Re: [wiskunde] limieten zonder de l'hopital

Re: [wiskunde] limieten zonder de l'hopital

Re: [wiskunde] limieten zonder de l'hopital

Re: [wiskunde] limieten zonder de l'hopital

Re: [wiskunde] limieten zonder de l'hopital

Re: [wiskunde] limieten zonder de l'hopital

Re: [wiskunde] limieten zonder de l'hopital

Re: [wiskunde] limieten zonder de l'hopital

Re: [wiskunde] limieten zonder de l'hopital

Re: [wiskunde] limieten zonder de l'hopital

Re: [wiskunde] limieten zonder de l'hopital

Re: [wiskunde] limieten zonder de l'hopital