[wiskunde (lineaire algebra) ] basis matrices

Falertje

Ik ben eerstejaarsstudent wiskunde, en ben pas begonnen het vak Lineaire Algebra te volgen. Bij de volgende vraag stuitte ik op een probleem:

Laat \(A\) een \((n\times n)\)-matrix zijn, \(I\) de \((n\times n)\)-eenheidsmatrix en \(O\) de \((n\times n)\)-nulmatrix.

Als \(A^2=O\), laat zien dat \(I - A\) inverteerbaar is.

Zo onderhand heb ik de eerste drie hoofdstukken van 'Linear Algebra' van Fraleigh & Beauregard doorgespit, maar ik heb ze weinig behulpzaam gevonden bij het oplossen van dit probleem(pje). Nu lijkt het me dat voor deze matrix \(A\) een of andere eigenschap af te leiden is, maar hoe of wat precies is mij niet duidelijk. Ik hoop dat iemand me een duw(tje) in de juiste richting kan geven?

Er zijn nog een aantal deelvragen volgend op deze vraag, die ik zelf hoop te kunnen beantwoorden als ik eenmaal dit probleem heb opgelost. Zo niet, dan laat ik nog van me horen.

Phys

Wat ik altijd instructief vind, is even naar het probleem kijken in n=2.

Zij

\(A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\)

dan

\(A^2=\left(\begin{array}{cc}a^2+bc&ac+dc\\ab+bd&bc+d^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right)\)

waaruit volgt

\(a=-d\)

en

\(a^2=-bc\)

Dus we krijgen

\(A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&-a\end{array}\right)\)

waarbij geldt

\(a^2=-bc\)

.

Bedenk dat een matrix inverteerbaar is dan en slechts dan als de determinant van nul verschilt.

Kijk nu naar

\(det(I-A)=det\left(\begin{array}{cc}1-a&b\\c&1+a\end{array}\right)=(1-a)(1+a)-bc=1-a^2-bc=1-a^2+a^2=1\neq 0\)

dus I-A is inverteerbaar.

Nu nog voor algemene n (disclaimer: ik zeg niet dat deze methode per se bruibaar is voor algemene n, maar misschien helpt het je)

Falertje

Hartstikke bedankt, ik heb nu in ieder geval een idee van hoe ik de opgave aan kan pakken, ik tastte voorheen volledig in het duister.

Bedenk dat een matrix inverteerbaar is dan en slechts dan als de determinant van nul verschilt.

Dat was mij nog niet bekend

met die kennis kom ik ook weer een stuk verder. Daarnast is het begrip determinant nog niet aan bod geweest, ik zal blijkbaar een paar hoofdstukken vooruit moeten lezen

Wederom bedankt!

Phys

Ah, determinant is nog niet behandeld. Dan is het vast de bedoeling om het zonder de determinant op te lossen. Ik zal nadenken, misschien helpt iemand anders je eerder.

\\edit: volgens mij heb ik een bewijs gevonden, helaas voor jou wel gebruikmakend van determinanten:

Beschouw het product

\(A(I-A) = AI-A^2 = AI\)

Nu geldt enerzijds

\(\det(A(I-A))=\det(A)\det(I-A)\)

anderzijds geldt

\(\det(A(I-A))=\det(AI)=\det(A)\det(I)\)

oftewel

\(\det(A)\det(I-A)=\det(A)\det(I)\Leftrightarrow \det(I-A)=\det(I)=1\neq 0\)

\(\Rightarrow \therefore I-A\)

is inverteerbaar.

Phys

Ah, damn. Die laatste stap (delen door det(A)) mag natuurlijk alleen als det(A) niet nul is, maar dat is-ie volgens mij wel (in ieder geval voor het n=2 geval, dus het gaat sowieso niet op). Jammer

Klintersaas

Ah, determinant is nog niet behandeld. Dan is het vast de bedoeling om het zonder de determinant op te lossen. Ik zal nadenken, misschien helpt iemand anders je eerder.

Zonder weet te hebben van determinanten kun je ook zeggen dat een matrix A inverteerbaar is als:

de kolommen van A lineair onafhankelijk zijn;
de vergelijking
\(Ax = 0\)
als enige oplossing
\(x = 0\)
heeft.

Verder kunnen we ook zeggen dat een 2x2-matrix

\(A = \left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right]\)

inverteerbaar is als

\(ad - bc \neq 0\)

, zonder te weten dat

\(ad - bc\)

de determinant is.

Phys

Voor de duidelijkheid: dat weet ik allemaal wel (dan kunnen we voor de volledigheid ook de hele lijst geven: klik), maar waar ik over na bedoelde te denken was een bewijs.

Klintersaas

Ik twijfelde er niet aan dat je dat allemaal wel wist, maar ik wilde jou en anderen gewoon een beetje inspiratie geven voor het zoeken naar een bewijs.

Burgie

Al eens geprobeerd de matrix

\(I-A\)

te vermenigvuldigen met

\(I+A\)

?

Phys

Ik twijfelde er niet aan dat je dat allemaal wel wist, maar ik wilde jou en anderen gewoon een beetje inspiratie geven voor het zoeken naar een bewijs.

Bedankt

Ik vond mijn opmerking niet helemaal duidelijk toen ik het teruglas, dus wilde het even verduidelijken.

Al eens geprobeerd de matrix
\(I-A\)
te vermenigvuldigen met
\(I+A\)
?

\((I-A)(I+A)=I^2-AI+IA-A^2=I^2-A^2=I^2=I\)

Burgie

Zie ik nu iets over het hoofd, maar

\(I+A\)

is toch de inverse van

\(I-A\)

en aangezien je het bestaan van de inverse hebt aangetoond...

Phys

Volgens mij heb je gelijk hoor. I+A blijkt te voldoen, en je hebt inderdaad gebruik gemaakt van A^2=O. qed

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde (lineaire algebra) ] basis matrices

[wiskunde (lineaire algebra) ] basis matrices

Re: [wiskunde (lineaire algebra) ] basis matrices

Re: [wiskunde (lineaire algebra) ] basis matrices

Re: [wiskunde (lineaire algebra) ] basis matrices

Re: [wiskunde (lineaire algebra) ] basis matrices

Re: [wiskunde (lineaire algebra) ] basis matrices

Re: [wiskunde (lineaire algebra) ] basis matrices

Re: [wiskunde (lineaire algebra) ] basis matrices

Re: [wiskunde (lineaire algebra) ] basis matrices

Re: [wiskunde (lineaire algebra) ] basis matrices

Re: [wiskunde (lineaire algebra) ] basis matrices

Re: [wiskunde (lineaire algebra) ] basis matrices