Springen naar inhoud

[wiskunde (lineaire algebra) ] basis matrices


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Falertje

    Falertje


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 november 2008 - 00:00

Ik ben eerstejaarsstudent wiskunde, en ben pas begonnen het vak Lineaire Algebra te volgen. Bij de volgende vraag stuitte ik op een probleem:

Laat LaTeX een LaTeX -matrix zijn, LaTeX de LaTeX -eenheidsmatrix en LaTeX de LaTeX -nulmatrix.
Als LaTeX , laat zien dat LaTeX inverteerbaar is.

Zo onderhand heb ik de eerste drie hoofdstukken van 'Linear Algebra' van Fraleigh & Beauregard doorgespit, maar ik heb ze weinig behulpzaam gevonden bij het oplossen van dit probleem(pje). Nu lijkt het me dat voor deze matrix LaTeX een of andere eigenschap af te leiden is, maar hoe of wat precies is mij niet duidelijk. Ik hoop dat iemand me een duw(tje) in de juiste richting kan geven?

Er zijn nog een aantal deelvragen volgend op deze vraag, die ik zelf hoop te kunnen beantwoorden als ik eenmaal dit probleem heb opgelost. Zo niet, dan laat ik nog van me horen. :D
Who else?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 november 2008 - 00:46

Wat ik altijd instructief vind, is even naar het probleem kijken in n=2.
Zij LaTeX
dan LaTeX
waaruit volgt LaTeX en LaTeX
Dus we krijgen LaTeX waarbij geldt LaTeX .

Bedenk dat een matrix inverteerbaar is dan en slechts dan als de determinant van nul verschilt.
Kijk nu naar LaTeX dus I-A is inverteerbaar.

Nu nog voor algemene n (disclaimer: ik zeg niet dat deze methode per se bruibaar is voor algemene n, maar misschien helpt het je) :D
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

Falertje

    Falertje


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 november 2008 - 00:59

Hartstikke bedankt, ik heb nu in ieder geval een idee van hoe ik de opgave aan kan pakken, ik tastte voorheen volledig in het duister.

Bedenk dat een matrix inverteerbaar is dan en slechts dan als de determinant van nul verschilt.

Dat was mij nog niet bekend :D met die kennis kom ik ook weer een stuk verder. Daarnast is het begrip determinant nog niet aan bod geweest, ik zal blijkbaar een paar hoofdstukken vooruit moeten lezen ;)
Wederom bedankt!
Who else?

#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 november 2008 - 01:38

Ah, determinant is nog niet behandeld. Dan is het vast de bedoeling om het zonder de determinant op te lossen. Ik zal nadenken, misschien helpt iemand anders je eerder.

\\edit: volgens mij heb ik een bewijs gevonden, helaas voor jou wel gebruikmakend van determinanten:

Beschouw het product LaTeX

Nu geldt enerzijds LaTeX

anderzijds geldt LaTeX

oftewel LaTeX

LaTeX is inverteerbaar.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#5

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 november 2008 - 01:59

Ah, damn. Die laatste stap (delen door det(A)) mag natuurlijk alleen als det(A) niet nul is, maar dat is-ie volgens mij wel (in ieder geval voor het n=2 geval, dus het gaat sowieso niet op). Jammer :D
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#6

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 november 2008 - 11:20

Ah, determinant is nog niet behandeld. Dan is het vast de bedoeling om het zonder de determinant op te lossen. Ik zal nadenken, misschien helpt iemand anders je eerder.

Zonder weet te hebben van determinanten kun je ook zeggen dat een matrix A inverteerbaar is als:Verder kunnen we ook zeggen dat een 2x2-matrix LaTeX inverteerbaar is als LaTeX , zonder te weten dat LaTeX de determinant is.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#7

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 november 2008 - 17:18

Voor de duidelijkheid: dat weet ik allemaal wel (dan kunnen we voor de volledigheid ook de hele lijst geven: klik), maar waar ik over na bedoelde te denken was een bewijs.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#8

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 november 2008 - 17:22

Ik twijfelde er niet aan dat je dat allemaal wel wist, maar ik wilde jou en anderen gewoon een beetje inspiratie geven voor het zoeken naar een bewijs.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#9

Burgie

    Burgie


  • >250 berichten
  • 582 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2008 - 17:31

Al eens geprobeerd de matrix LaTeX te vermenigvuldigen met LaTeX ?

#10

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 november 2008 - 17:38

Ik twijfelde er niet aan dat je dat allemaal wel wist, maar ik wilde jou en anderen gewoon een beetje inspiratie geven voor het zoeken naar een bewijs.

Bedankt :D
Ik vond mijn opmerking niet helemaal duidelijk toen ik het teruglas, dus wilde het even verduidelijken.

Al eens geprobeerd de matrix LaTeX

te vermenigvuldigen met LaTeX ?

LaTeX
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#11

Burgie

    Burgie


  • >250 berichten
  • 582 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2008 - 17:40

Zie ik nu iets over het hoofd, maar LaTeX is toch de inverse van LaTeX en aangezien je het bestaan van de inverse hebt aangetoond...

#12

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 november 2008 - 17:44

Volgens mij heb je gelijk hoor. I+A blijkt te voldoen, en je hebt inderdaad gebruik gemaakt van A^2=O. qed :D
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures