[wiskunde] primitieve sin^k x

Amon

Dag,

Voor een opdracht ben ik op zoek naar de primitieve van sin^k x. Er moet bewezen worden dat deze hetzelfde is als -1/k cos x sin^k-1 x + (k-1/k)* de integraal van sin^k-2 x

Ik weet niet hoe ik alles mooi in zo'n plaatjes kan zetten (Tex ofzo?) Dus vergeef mij hiervoor...

Ik heb zelf al vanalles geprobeerd:

De integraal van 1 * sin^k x uitrekenen met partiele integratie, niet gelukt.

Omzetten naar sin^k-2 (1-cos^2 x) ook niet gelukt.

Mijn beste poging is tot nu toe omzetten naar sin^k-1 x (1-cos^2 x)^0,5

Ik heb met behulp van het binomium van Newton dit laatste omgezet naar:

1-1/2 cos x en zo twee losse integralen gemaakt, namelijk:

de integraal van sin^k-1 en die van - 1/2sin^k-1 x cos x

Met substitutie heb ik de twee al kunnen berekenen: 1/k cos x sin^k-1 x

Deze lijkt al veel op een deel van het antwoord, maar verder kom ik niet en ik heb het vermoeden dat ik helemaal de verkeerde kant op ben gegaan.

Alvast bedankt voor jullie tijd,

Groet.

Phys

Helpt dit?

Amon

Ja, bedankt! Volgende keer zelf maar beter zoeken dan de eerste 4 pagina's...

Phys

Ik herinnerde het me toevallig nog. Ik denk niet dat je dat topic makkelijk terug kunt vinden (het heet 'recursie').

TD

Ik herinnerde het mij ook (al weer twee jaar geleden zeg...), maar vond het niet direct meer

Phys

Ik wist nog dat het in een van de eerste weken was gepost sinds ik me had aangemeld, dus zoeken in mijn eigen berichten, beginnend vanaf de laatste pagina, leverde al gauw resultaat op

Amon

Wel grappig dat ik precies dezelfde opdracht heb... B is namelijk ook hetzelfde

Phys

Vermoedelijk dezelfde cursus (Universiteit Utrecht? Infinitesimaalrekening of Wiskundige Technieken?).

Amon

Die 2e vraag:

Toon mbv die vorige aan dat Afbeelding

Bij 0 tot pi/2 valt dat eerste gedeelte weg, en houdt je dus over:

2n-1/2n Integraal van sin^2n-2 x dx

Ik zie niet helemaal duidelijk hoe ik nu tot het antwoord moet komen. Ik dacht zelf dat je voor die Integraal weer dezelfde formule als die je bewezen had in de eerste vraag moest invullen, maar weet niet zeker hoe dit precies moet en of dit wel de goede weg is....

Lapzwans

Vermoedelijk dezelfde cursus (Universiteit Utrecht? Infinitesimaalrekening of Wiskundige Technieken?).

Wiskundige Technieken aan de UU inderdaad. Weer een makkelijke 1% op mijn cijfer erbij

Amon

Weet jij deel B dan al?

Phys

Wiskundige Technieken aan de UU inderdaad. Weer een makkelijke 1% op mijn cijfer erbij

Laat ik je (of Amon, als jij er al uit bent) dan helpen je cijfer op te hogen:

\(I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}xdx=(2n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2x\sin^{2n-2}xdx\)

(partiële integratie zoals bekend, randterm vallen weg)

Schrijf

\(\cos^2x=1-\sin^2x\)

:

\(I_n=(2n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin^{2n-2}x-\sin^{2n}x)dx\)

oftewel

\(I_n=(2n-1)(I_{n-1}-I_n)\)

je krijgt de recursierelatie

\(I_n=\frac{2n-1}{2n}I_{n-1}\)

Direct duidelijk is dat

\(I_0=\frac{\pi}{2}\)

Je krijgt dus

\(I_1=\frac{1}{2}I_0=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\)

\(I_2=\frac{3}{4}I_1=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\)

...

...

\(I_n=\frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot(2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (2n)} \frac{\pi}{2}\)

Phys

Dit onderwerp past beter in het huiswerkforum en is daarom verplaatst.

Lapzwans

Bedankt! Je bent toch niet toevallig een begeleider voor wiskundige technieken die ons nu probeert te ontmaskeren hé?

Phys

Nee, maar ik zou het natuurlijk wel kunnen doorspelen aan v.d. Leur als ik hem maandag spreek

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] primitieve sin^k x

[wiskunde] primitieve sin^k x

Re: [wiskunde] primitieve sin^k x

Re: [wiskunde] primitieve sin^k x

Re: [wiskunde] primitieve sin^k x

Re: [wiskunde] primitieve sin^k x

Re: [wiskunde] primitieve sin^k x

Re: [wiskunde] primitieve sin^k x

Re: [wiskunde] primitieve sin^k x

Re: [wiskunde] primitieve sin^k x

Re: [wiskunde] primitieve sin^k x

Re: [wiskunde] primitieve sin^k x

Re: [wiskunde] primitieve sin^k x

Re: [wiskunde] primitieve sin^k x

Re: [wiskunde] primitieve sin^k x

Re: [wiskunde] primitieve sin^k x