Bewijzen van convolutie-eigenschappen

demike

hallo allen,

ik zit vast met de bewijsmethode van volgende eigenschappen:

f(t)* &#948(t) = f(t)

en f(t) * 0 = 0

Ik heb het geprobeerd op te lossen met simpelweg de definitie van convolutie ( integraal 0 naar t van f(t-u) . &#948(u) . du )toe te passen, maar dan kom ik iets totaal verkeerds uit.

Iemand die met op weg kan helpen naar een juiste bewijsvoering?

Phys

De code (δ) blijkt mis te gaan. Kun je verduidelijken wat je bedoelt (bij voorkeur in Latex)?

demike

Hoe bedoel je juist?

Ik zoek gewoon een manier om te bewijzen dat f(t)* δ(t) = f(t)

en f(t) * 0 = 0

En ik heb getracht om het te bewijzen door gewoon de definitie van convolutie toe te passen op het linkerlid , maar dan bekom ik foute zaken.

Phys

Hoe bedoel je juist?

In je eerst bericht werd de "delta" niet getoond, maar alleen de bijbehorende code. Ik wist niet wat die code betekende (een delta dus). Nu is het duidelijk.

En ik heb getracht om het te bewijzen door gewoon de definitie van convolutie toe te passen op het linkerlid , maar dan bekom ik foute zaken.

\(f(t)*\delta(t):=\int_{\infty}^\infty f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=f(t)\)

volgens de "zeef-eigenschap" van de deltafunctie.

De tweede eigenschap lijkt me triviaal.

demike

Phys schreef:In je eerst bericht werd de "delta" niet getoond, maar alleen de bijbehorende code. Ik wist niet wat die code betekende (een delta dus). Nu is het duidelijk.

\(f(t)*\delta(t):=\int_{\infty}^\infty f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=f(t)\)
volgens de "zeef-eigenschap" van de deltafunctie.

De tweede eigenschap lijkt me triviaal.

De zeef eigenschap van de deltafunctie, wat zegt deze? Nog nooit van gehoord precies.

En dat de laatste triviaal is, tja, waarom?

ik redeneer gewoon dat de oppervlakte onder 0 , nul is, maar is dat wel "goed" genoeg als antwoord, bewijs?

Phys

De zeef eigenschap van de deltafunctie, wat zegt deze? Nog nooit van gehoord precies.

Wat weet je wel van de deltafunctie? Hoe is deze gedefinieerd, en welke eigenschappen heb je gezien? Dit is namelijk een van de belangrijkste eigenschappen.

En dat de laatste triviaal is, tja, waarom?

ik redeneer gewoon dat de oppervlakte onder 0 , nul is, maar is dat wel "goed" genoeg als antwoord, bewijs?

Nou, door gewoon uit te schrijven krijg je

\(f(t)*0=\int_{-\infty}^\infty f(\tau)\cdot 0 d\tau=0\cdot \int_{-\infty}^\infty d\tau=0\)

.

De integraal van 0 is altijd gelijk aan 0, welke grenzen je ook gebruikt, naar welke variabele je ook integreert.

demike

Phys schreef:Wat weet je wel van de deltafunctie? Hoe is deze gedefinieerd, en welke eigenschappen heb je gezien? Dit is namelijk een van de belangrijkste eigenschappen.

Nou, door gewoon uit te schrijven krijg je

\(f(t)*0=\int_{-\infty}^\infty f(\tau)\cdot 0 d\tau=0\cdot \int_{-\infty}^\infty d\tau=0\)
.

De integraal van 0 is altijd gelijk aan 0, welke grenzen je ook gebruikt, naar welke variabele je ook integreert.

ik heb enkel de volgende definitie gekregen:

f(t) * g(t) =

\(\int_0^t f(t-u).g(u) du\)

ivm convolutie, wat de dirac functie betreft heb ik enkel gegeven dat het de afgeleide is van de stapsfunctie u(t) en dat de onbepaalde integraal van de diracfunctie 1 is.

Phys

demike schreef:ik heb enkel de volgende definitie gekregen:

f(t) * g(t) =
\(\int_0^t f(t-u).g(u) du\)

Weet je zeker dat je integratiegrenzen kloppen? In de gangbare definitie zijn de grenzen plus en min oneindig.

ivm convolutie, wat de dirac functie betreft heb ik enkel gegeven dat het de afgeleide is van de stapsfunctie u(t) en dat de onbepaalde integraal van de diracfunctie 1 is.

Dat lijkt me vreemd. Bedoel je misschien

\(\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1\)

in plaats van "de onbepaalde integraal"? Dat laatste is namelijk een integraal zonder grenzen:

\(\int \delta(x)dx=1\)

, oftewel dat 1 een primitieve is van de deltafunctie. Dat is natuurlijk onzin, want

\(\frac{d}{dx}(1)=0\)

. Bovendien, zoals je al zegt is de deltafunctie gelijk aan de afgeleide van de stapfunctie.

Zie hier en hier voor de gangbare definities en bekende eigenschappen van de deltafunctie. Deze heb ik gebruikt om je vragen te bewijzen.

demike

Weet je zeker dat je integratiegrenzen kloppen? In de gangbare definitie zijn de grenzen plus en min oneindig.

Ja, ik heb het met die grenzen gezien.

Dat lijkt me vreemd. Bedoel je misschien
\(\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1\)
in plaats van "de onbepaalde integraal"? Dat laatste is namelijk een integraal zonder grenzen:
\(\int \delta(x)dx=1\)
, oftewel dat 1 een primitieve is van de deltafunctie. Dat is natuurlijk onzin, want
\(\frac{d}{dx}(1)=0\)
. Bovendien, zoals je al zegt is de deltafunctie gelijk aan de afgeleide van de stapfunctie.

, neen ik bedoelde het zoals ik hierboven schreef.

Ik heb het zo gezien tijdens de les.

Daarom dat ik er eerlijk gezegd zo weinig van snap omdat het effectief in andere documenten anders omschrijven staat.

verwarring alom eerlijk gezegd

dirkwb

Ja, ik heb het met die grenzen gezien.

Ik ook.

@Phys zie hier.

Phys

verwarring alom eerlijk gezegd

Inderdaad. Maar dat van die onbepaalde integraal zul je toch met me eens zijn: het kan niet kloppen? Daar moeten grenzen bij. De twee eigenschappen die je noemt spreken elkaar namelijk tegen: de afgeleide van de stapfunctie is de deltafunctie, oftewel

\(\int \delta(t)dt=u(t)+C\)

. Dan kan dus niet tegelijkertijd

\(\int \delta(t)dt=1\)

.

Wat wel geldt is

\(\int_{-\infty}^\infty \delta(t)dt=1\)

, en dat is logisch.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Bewijzen van convolutie-eigenschappen

Bewijzen van convolutie-eigenschappen

Re: Bewijzen van convolutie-eigenschappen

Re: Bewijzen van convolutie-eigenschappen

Re: Bewijzen van convolutie-eigenschappen

Re: Bewijzen van convolutie-eigenschappen

Re: Bewijzen van convolutie-eigenschappen

Re: Bewijzen van convolutie-eigenschappen

Re: Bewijzen van convolutie-eigenschappen

Re: Bewijzen van convolutie-eigenschappen

Re: Bewijzen van convolutie-eigenschappen

Re: Bewijzen van convolutie-eigenschappen