Successievelijk kop

dirkwb

Stel een onzuivere munt voor met kans p op kop en kans 1-p op munt.

Wat is de verwachting van het aantal keren dat je moet gooien voordat je k koppen achter elkaar krijgt?

EvilBro

ik denk:

\(E = \frac{\sum_{m=0}^{k-1} p^m}{p^k}\)

dirkwb

Hoe kom je daaraan?

EvilBro

Voor het verwachte aantal stappen van (k-n) kop naar k kop geldt:

\(E_{k-n} = 1 + p \cdot E_{k-(n-1)} + (1-p) \cdot E_0 = p \cdot E_{k-(n-1)} + 1 + (1-p) \cdot E_0 = p \cdot E_{k-(n-1)} + E_{k-1}\)

Hieraan kon ik zien dat als ik deze formule weer toepas op zichzelf ik het verwachte aantal stappen kan uitdrukken in p en \(E_{k-1}\). Deze laatste kan je uitdrukken in \(E_0\). Dan nog een beetje omschrijven zodat je deze E kan uitdrukken in p.

Er is vast een mooiere manier te verzinnen...

dirkwb

[attachment=2954:1.PNG]

Wat ik niet snap is dat stuk met E[N|X=x]. Er wordt onderscheid gemaakt tussen x=<r en x>r maar waarom?

Burgie

Zoiets uitleggen blijft een probleem voor mij, maar toch even op een simplistische manier proberen...

N is de veranderlijke die het aantal keer gooien voorstelt tot er r keer na mekaar kop gegooid wordt.

X is een veranderlijke die het aantal keer gooien voorstelt tot de volgende keer munt wordt gegooid.

Indien x>r dan weet je zeker dat er x keer kop is gegooid; m.a.w. je weet dus dat E[N|X=x]=r.

Indien x<r dan weet je nog niets over 'het r keer kop gooien'; met andere woorden: E[N|X=x]=x+E[N].

Was dit wat verhelderend?

dirkwb

Indien x>r dan weet je zeker dat er x keer kop is gegooid; m.a.w. je weet dus dat E[N|X=x]=r.

Als er x keer kop gegooid is dan weet je zeker dat er een munt gegooid wordt (volgens de definitie van X). Maar waarom is het aantal beurten dat je moet wachten voordat je r keer successievelijk munt gooit r? Er wordt toch niet achter elkaar munt gegooid?

Burgie

Als er x keer kop gegooid is dan weet je zeker dat er een munt gegooid wordt (volgens de definitie van X). Maar waarom is het aantal beurten dat je moet wachten voordat je r keer successievelijk munt gooit r? Er wordt toch niet achter elkaar munt gegooid?

N stelt het aantal keer tossen voor totdat je r keer na mekaar kop verkrijgt (dus inclusief het r keer tossen...).

X vertelt ons dat er x keer na mekaar kop gegooid werd, gevolgd door een munt. Indien x groter is dan r, dan kan je met 100% zekerheid zeggen dat er minstens r keer na mekaar kop is gegooid. De verwachting van N op voorwaarde dat X=x wordt dus r; d.i. de r tossen opdat je r keer kop zou tossen.

Iets uitleggen blijft blijkbaar een zwak punt

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Successievelijk kop

Successievelijk kop

Re: Successievelijk kop

Re: Successievelijk kop

Re: Successievelijk kop

Re: Successievelijk kop

Re: Successievelijk kop

Re: Successievelijk kop

Re: Successievelijk kop