Als ik definieer
\( Z_n = \frac{X_n}{n+2}\)
met Xn het aantal witte ballen in stage n, hoe kan ik dan bewijzen dat dit martingale is?Laatste berichten
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:57
Straatklok loopt 5 minuten voor 11
-
22:57
wig 6
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[wiskunde] martingale
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 4.246
-
- Berichten: 7.068
Re: [wiskunde] martingale
De term martingale had ik nog nooit eerder gezien, dus ik ben bij het volgende uitgegaan van wat er in wiki staat. Volgens mij moet je bewijzen dat:
\(E[Z_{n+1} | Z_1 = z_1, Z_2 = z_2, \cdots, Z_n = z_n] = z_n\)
De hele rits Z's is leuk, maar alleen Z_n heeft natuurlijk invloed (die legt immers vast wat de verhouding is tussen de witte en zwarte ballen), dus:\(E[Z_{n+1} | Z_n = z_n] = z_n\)
Voor de verhouding geldt:\(z_n = \frac{x_n}{n+2}\)
De kans dat je een witte bal trekt, en dus een witte bal toevoegd, is \(z_n\). De kans dat je een zwarte bal trekt is \(1 - z_n\). De verwachtings waarde is dan dus:\(E[Z_{n+1} | Z_n = z_n] = z_n \cdot (\frac{x_n + 1}{(n + 1)+2}) + (1 - z_n) \cdot (\frac{x_n}{(n + 1)+2})\)
\(= \frac{x_n}{n+2} \cdot (\frac{x_n + 1}{n + 3}) + \frac{n + 2 - x_n}{n+2} \cdot (\frac{x_n}{n + 3})\)
\(= \frac{x_n^2 + x_n}{(n+2)\cdot (n+3)} + \frac{(n + 2) x_n - x_n^2}{(n+2)\cdot (n+3)}\)
\(= \frac{(n + 3) x_n}{(n+2)\cdot (n+3)} = \frac{x_n}{n+2} = z_n\)
Klopt dus...-
- Berichten: 4.246
Re: [wiskunde] martingale
Klopt.EvilBro schreef:De term martingale had ik nog nooit eerder gezien, dus ik ben bij het volgende uitgegaan van wat er in wiki staat. Volgens mij moet je bewijzen dat:
\(E[Z_{n+1} | Z_1 = z_1, Z_2 = z_2, \cdots, Z_n = z_n] = z_n\)
Hier zat het punt waar het fout ging bij mij: het is dus zo dat bij elke stage een bal wordt getrokken en wordt vervangen door twee ballen van dezelfde kleur. Maar waarom schrijven ze dat zo vaag op, evilbro? Je kan toch net zo goed zeggen dat je een kleur kiest en een bal van die kleur toevoegt. Ik vond de vraagstelling (zeer) verwarrendDe kans dat je een witte bal trekt, en dus een witte bal toevoegd, is \(z_n\). De kans dat je een zwarte bal trekt is \(1 - z_n\). De verwachtings waarde is dan dus:
\(E[Z_{n+1} | Z_n = z_n] = z_n \cdot (\frac{x_n + 1}{(n + 1)+2}) + (1 - z_n) \cdot (\frac{x_n}{(n + 1)+2})\)
eclatant\(= \frac{x_n}{n+2} \cdot (\frac{x_n + 1}{n + 3}) + \frac{n + 2 - x_n}{n+2} \cdot (\frac{x_n}{n + 3})\)\(= \frac{x_n^2 + x_n}{(n+2)\cdot (n+3)} + \frac{(n + 2) x_n - x_n^2}{(n+2)\cdot (n+3)}\)\(= \frac{(n + 3) x_n}{(n+2)\cdot (n+3)} = \frac{x_n}{n+2} = z_n\)Klopt dus...
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 4.246
Re: [wiskunde] martingale
Voor opgave b (die gewijzigd is door mijn docent) moet ik kijken naar de tijd T waarbij er voor het eerst een zwarte bal wordt getrokken.
Gegeven
Dit is wat ik heb:
Gegeven
\(E[Z_1]=E[Z_T] =\frac{1}{2}\)
volgt er:\( E \left[ \frac{1}{T+2} \right] = \frac{1}{4} \)
Dit is wat ik heb:
\( E[Z_1]=E[Z_T] =\frac{1}{2} =E \left[ \frac{X_T}{T+2} \right] = E \left[ X_T \right] E \left[\frac{1}{T+2} \right] \)
Is wat hierboven staat een correct statistische uitspraak en zo ja heo bereken ik E[XT] ?Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 7.068
Re: [wiskunde] martingale
Ik heb zo mijn twijfels over wat je hierboven hebt opgeschreven. Ik heb wel een andere manier bedacht:dirkwb schreef:Dit is wat ik heb:
\( E[Z_1]=E[Z_T] =\frac{1}{2} =E \left[ \frac{X_T}{T+2} \right] = E \left[ X_T \right] E \left[\frac{1}{T+2} \right] \)Is wat hierboven staat een correct statistische uitspraak en zo ja heo bereken ik E[XT] ?
\(E\left[\frac{1}{T+2}\right] = \sum_{t = 1}^{\infty} P(T = t) \cdot \frac{1}{t + 2}\)
\(P(T = t) = \frac{1}{t \cdot (t + 1)}\)
\(E\left[\frac{1}{T+2}\right] = \sum_{t = 1}^{\infty} \frac{1}{t \cdot (t + 1) \cdot (t + 2)} = \sum_{t = 1}^{\infty} \frac{1}{(t+1)} \cdot (\frac{1}{t} - \frac{1}{t + 2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sum_{t = 1}^{\infty} \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+1} \cdot \frac{1}{t + 2}\)
\(= \frac{1}{2} \cdot \sum_{t = 1}^{\infty} \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1} + \frac{1}{t+2} = \frac{1}{2} \cdot \sum_{t = 1}^{\infty} g(t) - g(t+1) = \frac{1}{2} \cdot \sum_{t = 1}^{\infty} g(t) - \frac{1}{2} \cdot \sum_{t = 1}^{\infty} g(t+1) = \frac{1}{2} \cdot \sum_{t = 1}^{\infty} g(t) - \frac{1}{2} \cdot \sum_{k = 2}^{\infty} g(k) = \frac{1}{2} \cdot g(1)\)
\(= \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{1} - \frac{1}{1+1}) = \frac{1}{4} \)
Hierbij heb ik \(g(t)\) even geintroduceerd om wat schrijfwerk te besparen.