De opgave is de volgende:
"f(t) is een periodieke functie die binnen het interval
\(]-\pi,\pi[\)
met lengte van één periode gedefinieerd is als:\(f(t) = \left\{ \begin{array}{rcl}e^t & \mbox{for}& -\pi<t<0 \\ e^{-t} & \mbox{for} & 0<t<\pi\end{array}\right\)
"Ik merk even op dat dit overduidelijk een even functie is.
Opgave: Bepaal de Fourrierreeksontwikkeling van deze functie.
Een Fourrierreeks wordt zo beschreven:
\(f(t) = M + \sum\limits_{n = 1 }^\infty (a_n \cdot \sin(n \cdot \omega \cdot t) + b_n \cdot \cos(n \cdot \omega \cdot t))\)
Hier gelden: Periode T = \(2\pi\)
en \(\omega = 1\)
met:\(M = \frac{1}{T} \cdot {\int\limits_{0}^T} f(t) \cdot dt\)
\(a_n = \frac{2}{T} \cdot {\int\limits_{0}^T} f(t) \cdot \sin(n \cdot \omega \cdot t) \cdot dt\)
\(b_n = \frac{2}{T} \cdot {\int\limits_{0}^T} f(t) \cdot \cos(n \cdot \omega \cdot t) \cdot dt\)
Nu is het toegestaan de intervallen te verschuiven van 0 naar -T/2 en van T naar +T/2 respectievelijk.Nu zit ik bij deze oefening in de problemen.
M vinden is niet moeilijk. Ik kom uit dat M 0 is.
\(a_n\)
is ook nul, dat is een eigenschap van \(a_n\)
als we met een even functie werken.met
\(b_n\)
zit ik in de problemen.Ik kom maar niet aan die uitkomst, en het verste dat ik nu gekomen ben kom ik op een bepaald punt aan een deling door 0 en ik kan niet verder.
Eerst geef ik de functie de juiste intervallen, namelijk van -T/2 tot +T/2. Die vervang ik en dan bekom ik:
\(b_n = \frac{1}{\pi} \cdot {\int\limits_{-\pi}^\pi} f(t) \cdot \cos(n \cdot t) \cdot dt\)
Hier vul ik de functie in en bekom:\(b_n = \frac{1}{\pi} \cdot {\int\limits_{-\pi}^0} e^t \cdot \cos(n \cdot t) \cdot dt + \frac{1}{\pi} \cdot {\int\limits_{0}^\pi} e^{-t} \cdot \cos(n \cdot t) \cdot dt\)
Om die integraal op te lossen maak ik gebruik van Partiële IntegratieEn daar loopt het mis...
