[wiskunde] faculteiteigenschap

ingdas

Tijdens de les wiskundig redeneren kwamen we toe aan combinatoriek, op zich niet zo speciaal.

Maar daar werd de vraag gesteld, als je gewoon de definitie van een combinatie krijgt, hoe weet je zeker dat dit een natuurlijk getal is?

Algemener gezegd, hoe bewijs je dat: (a+b)!/(a!*b!) een natuurlijk getal is bij natuurlijke a en b.

De prof benoemde dit als UOVT (uitstekende oefening voor thuis), maar ik zie zo niet direct hoe dit te doen is.

Heeft iemand een idee?

StrangeQuark

Hallo Ingdag, je krijgt ongetwijfeld de antwoorden die je zoekt, maar dit lijkt meer op huiswerk en wil je in het vervolg [wiskunde] voor de topic titel zetten als je dan iets in huiswerk plaatst, dat houdt het forum overzichtelijk en zorgt ervoor dat mensen jou sneller helpen.

Vladimir Lenin

Nou nee, de prof zal heus niet controleren of iedereen dat eens probeerde te bewijzen. Bovendien krijg je in een les makkelijk 3 UOVT's, en het zijn hoorcolleges ingdas, geen lessen.

Nu het begin van het bewijs.

\(\frac{\prod_{i=1}^{a+b}{i}}{\prod_{i=1}^{a}{i}\prod_{i=1}^{b}{i}}=\frac{\prod_{i=a+1}^{a+b}{i}}{\prod_{i=1}^{b}{i}}\)

. Ik denk dat je nu met terugvallen op de hoofdstelling van de rekenkunde. Al zie ik niet onmiddellijk hoe.

Vladimir Lenin

Ik kom er niet echt uit.

Al denk ik wel dat ik op de goeie weg ben, maar hoe bewijs je dat de priemgetallen die onderaan staan, ook allemaal bovenaan staan. Iemand een idee.

Vladimir Lenin

Misschien een doorbraak:

\(\frac{\prod_{i=1}^{a+b}{i}}{\prod_{i=1}^{a}{i}\prod_{i=1}^{b}{i}}=\frac{\prod_{i=a+1}^{a+b}{i}}{\prod_{i=1}^{b}{i}}=\frac{\prod_{i=b+1}^{a+b}{i}}{\prod_{i=1}^{a}{i}}\)

dus:

\(\frac{\prod_{i=a+1}^{a+b}{i}}{\prod_{i=1}^{b}{i}}=\frac{\prod_{i=b+1}^{a+b}{i}}{\prod_{i=1}^{a}{i}}\)

laat ons zeggen dat a kleiner is dan b, anders de omgekeerde weg

\(\frac{\prod_{i=a+1}^{b}{i}}{\prod_{i=1}^{b}{i}}=\frac{1}{\prod_{i=1}^{a}{i}}\)

dus:

\(\prod_{i=a+1}^{b}{i}=\frac{\prod_{i=1}^{b}{i}}{\prod_{i=1}^{a}{i}}\)

dus:

\(\prod_{i=1}^{a}{i}=\frac{\prod_{i=1}^{b}{i}}{\prod_{i=a+1}^{b}{i}}\)

dus bekomen we:

\(\frac{\prod_{i=1}^{a+b}{i}}{\prod_{i=1}^{a}{i}\prod_{i=1}^{b}{i}}=\frac{\prod_{i=1}^{a+b}{i}}{\frac{\prod_{i=1}^{b}{i}}{\prod_{i=a+1}^{b}{i}}\prod_{i=1}^{b}{i}}=\frac{\prod_{i=1}^{a}{i}\prod_{i=b+1}^{a+b}{i}}{\left(\prod_{i=1}^{b}{i}\right)^2}\)

Maar verder geraak ik niet.

@SQ: het is trouwens Ingdas en niet Ingdag

ingdas

Het ziet er al interessant uit, een eind van je redenering zag ik persoonlijk rapper in als je alles in de vorm van faculteiten schrijft,

Maar we zijn nog altijd niet bij het te bewijzen: dat dat een natuurlijk getal is.

Ik zit helaas zelf nog steeds zonder inspiratie om hierop verder te bouwen, dus als je een idee hebt, post maar

Safe

Laat ik met een vb beginnen.

\({8\choose 3}=\frac{6\cdot7\cdot8}{1\cdot2\cdot3}\)

Wie van jullie, rekent zo (uit het hoofd) combinaties uit?

We zien hetzelfde aantal factoren in teller en noemer, en in de noemer staat altijd k!.

Maar dit betekent dat de teller factoren bevat die weer veelvouden zijn van die in de noemer.

Einde bewijs.

Vladimir Lenin

Nou, het te bewijzen komt daar eigenlijk uit. Je bewijst niet echt iets. Er wordt gevraagd hoe je kan bewijzen dat:

\(\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)\in\nn\)

Safe

@Vladimir Lenin

Er zijn die beweringen:

1. de teller en de noemer bevatten k opvolgende getallen uit N.

2. de noemer bevat k!

3. de teller bevat de veelvouden van de factoren in de noemer.

Eens, oneens. Motiveer.

ingdas

Ja ik zie het, zo komen we er

dus de i-de factor in de noemer is een deler van de

(((n mod k)+1+i) mod k)+1-ste factor in de teller

edit: nee, dit vermoeden kan niet kloppen niet aangezien je ook een priemgetal in de teller kunt hebben,

Ik zal even verder moeten zoeken, maar ik heb nu tenminste opnieuw wat ideeën, alvast bedankt

ingdas

Ik heb het eens over een andere boeg gegooid en ik denk dat ik een antwoord heb:

Het bewijs

Vladimir Lenin

Dat is geen goed sluitend bewijs

Je mag niets meer van je

\({n\choose k}\)

consumeren, aangezien je dan niet meer reker bent dat het een natuurlijk getal is. Enkel de noemer zou je eventueel mogen gebruiken.

eendavid

Inductie is the way to go, maar in creatieve vorm. Gebruik dat

\({n\choose k}={n-1\choose k-1} + {n-1\choose k}\)

.

Bewijs de stelling eerst voor

\({n\choose 0}\)

en

\({n \choose n}\)

. De 'inductiestap' is de formule hierboven. Je maakt er hierbij gebruik van dat consistent doordrijven van (n,k)->(n-1,k-1) en (n,k)->(n-1,k), uiteindelijk leidt naar termen van de vorm uit de basisstap.

Safe

Dit is geen antwoord op de drie beweringen.

Als je dat wel vindt, licht dat dan toe desnoods met een vb.

Als je ze niet kan weerleggen, is dat ook niet erg. Dan kan je altijd nog vragen stellen.

eendavid

Safe schreef:Dit is geen antwoord op de drie beweringen.

Als je dat wel vindt, licht dat dan toe desnoods met een vb.

?!

Ik ben het eens met de 3 beweringen. Echter, bewering 3 is precies wat bewezen moet worden. Doe dat...

Ik presenteer gewoon een bewijs dat een ander gedachtepad volgt.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] faculteiteigenschap

[wiskunde] faculteiteigenschap

Re: [wiskunde] faculteiteigenschap

Re: [wiskunde] faculteiteigenschap

Re: [wiskunde] faculteiteigenschap

Re: [wiskunde] faculteiteigenschap

Re: [wiskunde] faculteiteigenschap

Re: [wiskunde] faculteiteigenschap

Re: [wiskunde] faculteiteigenschap

Re: [wiskunde] faculteiteigenschap

Re: [wiskunde] faculteiteigenschap

Re: [wiskunde] faculteiteigenschap

Re: [wiskunde] faculteiteigenschap

Re: [wiskunde] faculteiteigenschap

Re: [wiskunde] faculteiteigenschap

Re: [wiskunde] faculteiteigenschap