Springen naar inhoud

[wib2] lengte bewijzen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

lau

    lau


  • >25 berichten
  • 63 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2005 - 14:19

Hallo mensen,

Nog een lastige vraag (vind ik).
Figuur hieronder:
Geplaatste afbeelding

Je ziet hier een gelijkbenige driehoek met |AC|=|BC|.
P is een willekeurig punt op AB.
l is de middelloodlijn van AP, punt D is het snijpunt van l en AC.
m is de middelloodlijn van BP, punt E is het snijpunt van m en BC.

Te bewijzen: |AD|=|CE|

Als je gebruik wilt maken van Cabri: http://www.4dimension.nl/Figuur__1.zip


Ik zie hier natuurlijk 2 gelijkvormige driehoeken in met dezelfde hoeken, maar ik kan niet bewijzen dat de lengtes |AD|=|CE| evenlang zijn (dus ook |CD|=|BE|)
Wie kan me hieruit helpen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

rodeo.be

    rodeo.be


  • >250 berichten
  • 647 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2005 - 14:41

volg even mee:

noem M het midden van AB
noem d' en e' de loodrechte projecties van d en e op AB (evenwijdig met CM)
Geplaatste afbeelding


|ad|/|ad'|=|ac|/|am|

en,
|eb|/|be'|=|cb|/|mb|

(stelling van Thales)

we weten: |AM|=|MB| (dit is het geniale, CM is de middelloodlijn van AB!), en ook |AC|=|BC| (gegeven!)

aldus:
|AD|/|AD'|=|CB|/|E'B|

nu even opletten: AD'=1/2*(1-2*BE')

aldus komt er het gevraagde
???

#3

lau

    lau


  • >25 berichten
  • 63 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2005 - 15:17

volg even mee:

noem M het midden van AB
noem d' en e' de loodrechte projecties van d en e op AB (evenwijdig met CM)
http://img99.echo.cx...0/lengte8bo.jpg


|ad|/|ad'|=|ac|/|am|

en,
|eb|/|be'|=|cb|/|mb|

(stelling van Thales)

we weten: |AM|=|MB| (dit is het geniale, CM is de middelloodlijn van AB!), en ook |AC|=|AB| (gegeven!)

aldus:
|AD|/|AD'|=|CB|/|E'B|

nu even opletten: AD'=1/2*(1-2*BE')

aldus komt er het gevraagde


Oei.. sorry, maar hier snap ik niet veel van..
overigens is |AC|=|AB| niet gegeven, maar |AC|=|BC|

Edit moderator Math: ik heb van je plaatje een link gemaakt. Anders krijgen we wel erg lange quotes!

#4

iris

    iris


  • >100 berichten
  • 156 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2005 - 16:20

Ik heb ook een bewijs gevonden, weet alleen niet hoe ik een plaatje moet uploaden , maar zal het bewijs hier wel even neerzetten. ( ik heb de lijnen: |DE|, |PD| en |PE| getekend)

hoek DAP = hoek DPA (gegeven -> gelijkbenige driehoek) (1)
hoek EPB = hoek EBP (gegeven -> gelijkbenige driehoek) (2)
hoek CAP = hoek CBP (gegeven -> gelijk benige driehoek) (3)

(1)+(2)+(3) = 180° (4)
hoek CAB = hoek DAP (5)
hoek CBP= hoek EBP (6)

(4),(5),(6) => hoek ACB = hoek DPE (7)

driehoek ABC ~ PBE => EP||CD (8 )
driehoek ABC ~ APD => DP||CE (9)

(7),(8 ),(9) => vierhoek CDPE is een parallelogram met hoek DPE = hoek DCE =>
|CE|=|DP|(10) én
|DC|=|PE| (11)

|DP|=|AD| (gelijkbenige driehoek) (12)
|PE|=|BE| (gelijkbenige driehoek) (13)

(10),(12) => |CE|=|AD|
(11),(13) => |DC|=|BE|

zo heb je ze allebei bewezen :wink:
Ik hoop dat je het een beetje begrijpt, is namelijk wel wat lastig uit te leggen zonder tekening, maar als je jou tekening eerst tekent en dan de lijnen AP, DE en PE tekent. Vervolgens alle gelijke zijdes (van de driehoeken ADP, EPB en ABC) erinzet. Kan je mn bewijs hopelijk kunnen volgen.. Hij is niet zo heel moeilijk namelijk!
huh?

#5

iris

    iris


  • >100 berichten
  • 156 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2005 - 16:40

how, volgens mij is het me gelukt er een plaatje van te uploaden, komt ie:
Geplaatste afbeelding
huh?

#6

lau

    lau


  • >25 berichten
  • 63 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2005 - 16:49

(4),(5),(6) => hoek ACB = hoek DPE (7)

driehoek ABC ~ PBE => EP||CD  (8 )
driehoek ABC ~ APD => DP||CE  (9)

(7),(8 ),(9) => vierhoek CDPE is een parallelogram met hoek DPE = hoek DCE =>  
|CE|=|DP|(10) én
|DC|=|PE| (11)


Hoe weet je dat vierhoek CDPE een parallellogram is? (ik bedoel.. ikw eet wel dat het een parallellogram is, maar aan welke gegevens zie je dat het een parallellogram is).

Overigens heb je bij hoek A en hoek B verschillende symbolen gebruikt. Maar dat hoeft toch niet omdat ze ABC gelijkbenig is, is hoek A en hoek B toch gelijk?

Maar je bewijs is inderdaad makkelijk. Ik zag het even niet met die parallellogram.

Ohja.. de lijn DE, is dat nodig?

#7

rodeo.be

    rodeo.be


  • >250 berichten
  • 647 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2005 - 16:58

volg even mee:

noem M het midden van AB
noem d' en e' de loodrechte projecties van d en e op AB (evenwijdig met CM)
http://img99.echo.cx...0/lengte8bo.jpg


|ad|/|ad'|=|ac|/|am|

en,
|eb|/|be'|=|cb|/|mb|

(stelling van Thales)

we weten: |AM|=|MB| (dit is het geniale, CM is de middelloodlijn van AB!), en ook |AC|=|AB| (gegeven!)

aldus:
|AD|/|AD'|=|CB|/|E'B|

nu even opletten: AD'=1/2*(1-2*BE')

aldus komt er het gevraagde


Oei.. sorry, maar hier snap ik niet veel van..
overigens is |AC|=|AB| niet gegeven, maar |AC|=|BC|

Edit moderator Math: ik heb van je plaatje een link gemaakt. Anders krijgen we wel erg lange quotes!

verbeterd! |ab|=|bc|
???

#8

iris

    iris


  • >100 berichten
  • 156 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2005 - 17:02

Hoe weet je dat vierhoek CDPE een parallellogram is? (ik bedoel.. ikw eet wel dat het een parallellogram is, maar aan welke gegevens zie je dat het een parallellogram is).


Dat kan je zien aan dat EP||CD en DP||CE. (EP is evenwijdig aan CD en DP is evenwijdig aan CE).

En je hebt gelijk dat hoek A en B gelijk is, maar ik heb ze een ander symbool gegeven zodat je beter ziet dat hoek DPE gelijk aan hoek DCE is.

Ook lijn DE is inderdaad niet echt nodig zie ik nu :shock: .. Maar hij laat wel duidelijk zien dat je het parallelogram in twee gelijke driehoeken kan delen, namelijk driehoek DEP en driehoek DEC. Waarvan je weet dat de hoeken C en P gelijk zijn, dus zou je hieraan ook kunnen zien dat DC en EP gelijk waren. Maar dit zie je ook al aan het feit dat het een parallelogram is, dus is de lijn inderdaad niet heel nuttig.
huh?

#9

Revelation

    Revelation


  • >1k berichten
  • 2364 berichten
  • Technicus

Geplaatst op 14 mei 2005 - 17:11

Ik weet niet of je tevreden bent met een niet-algebraïsh antwoord, maar hier komt ie toch :shock:

Geplaatste afbeelding

Deze driehoek kan over de y-as gespiegeld worden. Het is logisch dat je in het gespiegelde gedeelte, je nog eens moet spiegelen om dit uit te krijgen:
de som van de lengte van de verticale lijnen, moeten de lengte van de middelste lijn zijn. Dan zie je ook dat AD=CE. Het tweede spiegelpunt is dus de lijn door punt P. ;)
“Quotation is a serviceable substitute for wit.” - Oscar Wilde

#10

lau

    lau


  • >25 berichten
  • 63 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2005 - 17:17

Dat kan je zien aan dat EP||CD en DP||CE. (EP is evenwijdig aan CD en DP is evenwijdig aan CE).


OK.. ik snap het! Bedankt

Welk congruentiegeval zijn de gelijkvormige driehoeken ABC en PBE; ABC en APD? Je weet maar 2 hoeken, die van hoek A en B.
Oh laat maar, ik zie het al.. hoek C zal hoek E moeten zijn (hoekensom driehoek)...

@Revelation, ik heb zoiets nog nooit gehad.. maar leuk uitgelegd. Wij moeten met wiskunde B2 echt bewijzen geven mbv bewezen bestaande stellingen.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures