Moeilijke som
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 4.246
Moeilijke som
Wat is de onderstaande som?
\( \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1+8 \sin^2 (\frac{k \pi}{n} )} \)
Quitters never win and winners never quit.
- Berichten: 3.112
Re: Moeilijke som
Een intuïtieve benadering: als n groot is, het gemiddelde van sin2 gelijk aan 1/2. Vervang in die som die sin2 gelijk door 1/2. Nu is je probleem vereenvoudigd.Wat is de onderstaande som?\( \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1+8 \sin^2 (\frac{k \pi}{n} )} \)
-
- Berichten: 4.246
-
- Berichten: 4.246
Re: Moeilijke som
Laat 's zien hoe je eraan komt. Want als ik dat uitreken met waardes dan komt dat er niet uit.Volgens mij is dat\(\frac{n}{3}\)
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 7.068
Re: Moeilijke som
Ik kom er nog niet uit. Kun je aangeven met welk onderwerp je bezig bent zodat de context misschien een hint geeft naar de oplosmethode?Wat is de onderstaande som?
Je probleem is ook niet meer je oorspronkelijke probleem. Ik denk dat je je intuitie eens moet controleren met daadwerkelijke cijfers...Een intuïtieve benadering: als n groot is, het gemiddelde van sin2 gelijk aan 1/2. Vervang in die som die sin2 gelijk door 1/2. Nu is je probleem vereenvoudigd.
Dat is de asymptoot waar het geheel heengaat.Volgens mij is dat\(\frac{n}{3}\)
\(\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1 + 8 sin^2(k \frac{\pi}{n})} = \frac{n}{\pi} \frac{\pi}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1 + 8 sin^2(k \frac{\pi}{n})}\)
Hierin kunnen we een Riemann som herkennen, voor grote \(n\) zal dus gelden:\( \approx \frac{n}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1 + 8 sin^2(t)} dt = \frac{n}{\pi} \frac{\pi}{3} = \frac{n}{3}\)
waarbij Maxima voor mij de integraal heeft opgelost.-
- Berichten: 4.246
Re: Moeilijke som
Er is geen context, dit is simpelweg een wiskundeopgave.Ik kom er nog niet uit. Kun je aangeven met welk onderwerp je bezig bent zodat de context misschien een hint geeft naar de oplosmethode?
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 7.068
Re: Moeilijke som
Hoe heet het vak of boek waar deze opgave bijhoort?Er is geen context, dit is simpelweg een wiskundeopgave.
Ik heb trouwens de som met wat gonio alsvolgt geschreven:
\(1 + \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3 + \sqrt{8} \cos(k \frac{\pi}{n})}\)
Ik zie nog niet echt of dit helpt, maar misschien kietelt het iemand anders op de juiste manier...-
- Berichten: 8.614
Re: Moeilijke som
Als zelfs grote wiskundige geesten als EvilBro en dirkwb er niet uitkomen, wie ben ik dan om een poging te wagen. Toch hoop ik dat mijn armzalige pogingen iemand mogelijk één of ander briljant inzicht geven.
Ik heb de som handmatig uitgerekend voor de eerste 5 gehele waarden van n, te beginnen met 1:
Ik heb de som handmatig uitgerekend voor de eerste 5 gehele waarden van n, te beginnen met 1:
- Voor \(n = 1\)is de gevraagde som 1;
- Voor \(n = 2\)is de gevraagde som\(\frac{10}{9}\);
- Voor \(n = 3\)is de gevraagde som\(\frac{9}{7}\);
- Voor \(n = 4\)is de gevraagde som\(\frac{68}{45}\);
- Voor \(n = 5\)is de gevraagde som\(\frac{55}{31}\).
\(1,\ \frac{10}{9},\ \frac{9}{7},\ \frac{68}{45},\ \frac{55}{31},\ \cdots\)
Ik kan helaas niets vinden en ook Sloane helpt me er niet uit. Iemand anders?Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
-
- Berichten: 481
Re: Moeilijke som
interessant, zelfs mathematica weet het niet.. ( En dat zegt wat )
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just **** urself..
Correct me if I'm wrong.
Correct me if I'm wrong.
-
- Berichten: 8.614
Re: Moeilijke som
Ik ben echt benieuwd. Waarschijnlijk gaat de wiskunde die erachter zit mijn pet te boven, maar dat zal me niet beletten om naar een oplossing te zoeken.
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
-
- Berichten: 582
Re: Moeilijke som
Onder voorbehoud van fouten kom ik voorlopig uit op
Deze som komt me zo bekend voor, maar ik kan hem maar niet thuisbrengen...
\(\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{5-4 \cos \left( \frac{2 k \pi}{n} \right)}\)
.Deze som komt me zo bekend voor, maar ik kan hem maar niet thuisbrengen...
- Berichten: 7.556
Re: Moeilijke som
Het lijkt te maken te hebben met Fourierreeksen, maar daar heb je doorgaans te maken met oneindige sommen.
Daarom ben ik ook nog steeds benieuwd naar het antwoord op de vraag
Daarom ben ik ook nog steeds benieuwd naar het antwoord op de vraag
Er is altijd wel *een* context. Ik neem tenminste aan dat je geen boek gebruikt waarin bijv. opgaven over Fourierreeksen, Kansberekening, Galoistheorie en vectorrekening tegelijkertijd in staanEr is geen context, dit is simpelweg een wiskundeopgave.
Hoe heet het vak of boek waar deze opgave bijhoort?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 4.246
Re: Moeilijke som
@Burgie: is jouw som hetzelfde als die van Evilbro?
Deze keer niet: deze som komt van een wiskunde-olympiade.Hoe heet het vak of boek waar deze opgave bijhoort?Er is altijd wel *een* context.
Nou, eigenlijk bijna wel . In het boek van functionaalanalyse komt een beetje van alles voorbij, behalve kansberekening en een groot deel van galoistheorie(een vak wat ik overigens niet heb gevolgd).Ik neem tenminste aan dat je geen boek gebruikt waarin bijv. opgaven over Fourierreeksen, Kansberekening, Galoistheorie en vectorrekening tegelijkertijd in staan
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 582
Re: Moeilijke som
Niet gecontroleerd, maar na controle met Maple blijkt mijn som ook wel@Burgie: is jouw som hetzelfde als die van Evilbro?
\(\frac{n}{3}\)
Ik had er inderdaad ook al m'n cursus "Systeem- en Signaalanalyse" bijgenomen.Het lijkt te maken te hebben met Fourierreeksen, maar daar heb je doorgaans te maken met oneindige sommen.
Daarom ben ik ook nog steeds benieuwd naar het antwoord op de vraag
Ik heb een déjà-vu Ik heb deze som nog opgelost... hij komt me gewoon te bekend voor.