Springen naar inhoud

[wiskunde] vraagstuk met matrices.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

ImmIx

    ImmIx


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 december 2008 - 13:23

Ik heb net een examen(5e middelbaar, wetenschappen-wiskunde(6u) gehad vandaag van matrices en stelsels. Er was één bepaald vraagstuk dat ik niet kon oplossen, want ik snapte hem namelijk niet. De bedoeling is om met de informatie die je krijgt 3 onbekenden(x,y,z) in een stelsel te plaatsen, dan in een matrix en die vervolgens met je rekentoestel oplossen. Het probleem is dat ik het stelsel niet verkrijk, ik heb al talloze dingen geprobeert. Dit is het vraagstuk:

"3 personen bezitten een bepaald aantal euro's. De eerste persoon geeft aan de anderen het dubbele van wat ze al hadden. Vervolgens doet de 2e persoon dit ook en daarna doet de derde persoon het ook. Op het einde bezitten ze allemaal elk 8 euro(geen geld gaat verloren dus ze bezitten in totaal 24euro). Hoeveel euro's had iedere persoon in het begin?"

Ik heb X als het geld genomen die de eerste persoon had in het begin, Y als dat van de tweede, en Z als dat van de derde. Ik heb al vele dingen geprobeerd, kan iemand mij hierbij helpen of op het goede pad zetten?
=> 1 v.d. vergelijkingen is al: X + Y + Z = 24

Het volgende had ik al uitgewerkt maar ik weet helemaal niet of het correct is of wat ik ermee kan doen:
Nadat de eerste persoon heeft gedaan wat er staat:
X = X - Y - Z Deze drie waarden worden VERVANGEN, het is dus geen gelijkenis.
Y = 2Y
Z = 2Z

Nadat de tweede persoon heeft gedaan wat er staat:
Dit was eerst Y 2Y = 2Y - X + Y + Z - 2Z Deze drie waarden worden VERVANGEN, het is dus geen gelijkenis.
Dit was eerst XX - Y - Z = 2X - 2Y - 2Z
Dit was eerst Z 2Z = 4Z

Nadat de derse persoon heeft gedaan wat er staat:
Dit was eerst Z 4Z = 4Z - 2Y + X - Y - Z + 2Z - 2x + 2Y + 2Z Deze drie waarden worden VERVANGEN, het is dus geen gelijkenis.
Dit was eerst Y 2Y - X + Y + Z - 2Z = 4Y - 2X + 2Y + 2Z - 4Z
Dit was eerst X2X- 2Y - 2Z = 4X - 4Y - 4Z


Greetz,

ImmIx

Veranderd door ImmIx, 05 december 2008 - 13:38


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 december 2008 - 14:17

Volgens mij maak je het jezelf moeilijk. Probeer eens terug te redeneren. Vertrek dus van het moment waarop ze elk 8 euro hebben en reken zo terug.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#3

ImmIx

    ImmIx


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 december 2008 - 15:05

Volgens mij maak je het jezelf moeilijk. Probeer eens terug te redeneren. Vertrek dus van het moment waarop ze elk 8 euro hebben en reken zo terug.


Ok, dat zal ik proberen, maar nu ga ik analyse leren voor mijn examens maandag. dus dat zal eerder vanavond zijn. Enige andere feedback/advies is welkom. Dank bij voorbaat.

Greetz,

ImmIx

#4

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 december 2008 - 16:03

Eigenlijk lijken een stelsel, een matrix en een rekenmachine me een beetje overkill voor deze opgave. Een eenvoudig schemaatje en je bent er in minder dan een minuut. Maar goed, de wil van de leerkracht is wet.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#5

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 december 2008 - 16:35

Ik vind de vraagstelling niet uitblinken in helderheid.

3 personen bezitten een bepaald aantal euro's. De eerste persoon geeft aan de anderen het dubbele van wat ze al hadden.

* Wie zijn "ze"? De twee andere personen, of de drie personen?
* Hoezo "al hadden" en niet "hebben"?
* Wat betekent "iets aan de anderen geven"? Als ik twee personen 3 euro geef, geef ik dan ieder 3 euro, of beide 1,50, of de één 1 euro en de ander 2...? etc.

Stel - voordat het 'spel' begint: persoon 1 heeft X, persoon 2 heeft Y, en persoon 3 heeft Z.
Lees ik nu dat persoon 2 na deze eerste handeling Y+2Y=3Y, en persoon 3 Z+2Z=3Z krijgt?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#6

ImmIx

    ImmIx


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 december 2008 - 17:30

Ik vind de vraagstelling niet uitblinken in helderheid.

* Wie zijn "ze"? De twee andere personen, of de drie personen?
* Hoezo "al hadden" en niet "hebben"?
* Wat betekent "iets aan de anderen geven"? Als ik twee personen 3 euro geef, geef ik dan ieder 3 euro, of beide 1,50, of de één 1 euro en de ander 2...? etc.

Stel - voordat het 'spel' begint: persoon 1 heeft X, persoon 2 heeft Y, en persoon 3 heeft Z.
Lees ik nu dat persoon 2 na deze eerste handeling Y+2Y=3Y, en persoon 3 Z+2Z=3Z krijgt?


* Ze zijn de 2 andere personen.
*Is dat niet hetzelfde? Ze krijgen gewoon geld bij wat ze op dat moment bezitten.
*Bij geval 1, geeft persoon 1 aan persoon 2 wat persoon 2 al bezit, zodat zijn (persoon 2) bezit verdubbeld wordt. Aan persoon 3 geef hij persoon 3 al bezit, zodat zijn (persoon 3) bezit verdubbel wordt. Dit gebeurt dan nog twee keer maar éénmaal door persoon 2 en éénmaal door persoon 3. Telkens als een van de drie personen dus geld geeft aan de anderen, verliest hij zelf wat de anderen samen op dat moment bezitten.

Ik hoop dat dit het wat verduidelijkt. Het vraagstuk was even onduidelijk op het examen...

#7

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 december 2008 - 17:42

Jouw interpretatie (die ook mijn interpretatie is) is niet wat er letterlijk staat, maar waarschijnlijk kon je je de letterlijke bewoordingen niet meer herinneren.

Jouw interpretatie (die waarschijnlijk correct is): als een persoon € 4 heeft, krijgt hij er nog eens € 4 bij en heeft hij nu dus het dubbel van wat hij oorspronkelijk had.

De letterlijke interpretatie (die Phys aangaf): als een persoon € 4 heeft, krijgt hij er nog eens € 8 (= het dubbel van wat hij al heeft) bij en heeft hij nu dus het driedubbel van wat hij oorspronkelijk had.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#8

ImmIx

    ImmIx


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 december 2008 - 18:37

Ja, ik herinner me niet alles in de details, maar dat( mijn en jouw interpretatie Klinterklaas) is de juist, ik heb het nagevraagd. Ik ga nog eens proberen het op te lossen en ik geef zo snel mogelijk een antwoord.

#9

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 december 2008 - 19:04

Goed, dat stond er niet. We hebben nu dus:
LaTeX
waarbij de pijl de eerste handeling voorstelt.

Nu zegt men "Vervolgens doet de 2e persoon dit ook". Wat betekent dat? Persoon 2 geeft aan 1 en 3 wat ze oorspronkelijk hadden, of wat ze na de eerste handeling hebben? Dus verdubbelt persoon 2 de huidige bedragen van 1 en 3, of de oorspronkelijke bedragen?

Laat ik aannemen dat de huidige bedragen van 1 en 3 verdubbeld worden door 2:

LaTeX
LaTeX
LaTeX

Vervolgens verdubbelt 3 de huidige bedragen van 1 en 2:

LaTeX
LaTeX
LaTeX

Nu is het simpelweg een kwestie van elke van deze laatste 3 uitdrukkingen gelijkstellen aan 8, en oplossen voor X,Y en Z (als je wilt, m.b.v. een matrix).

Echter krijg ik als antwoord X=13/2, Y=15/4, Z=3/4, zodat X+Y+Z=11. Dus ik zal ofwel een rekenfout gemaakt hebe, ofwel heb ik de vraag alsnog verkeerd geïnterpreteerd (het zou niet de eerste keer zijn dat ik net de niet-bedoelde interpretatie heb; ik heb een hekel aan onzorgvuldig geformuleerde opdrachten).
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#10

ImmIx

    ImmIx


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 december 2008 - 19:11

Ja sorry, het stond zo in het examen... 3 lijntjes. Je interpretatie is juist(ik + anderen op het examen hadden net dezelfde). Ik heb ook zoals jij geredeneerd, maar 2x kom ik 32 uit als totaal:

V1:{17,9,6} en de tweede matrix V2:{17,11,4}.
Stelsel 1:
1:4X-4Y-4Z
2:-2X + 6Y - 6Z
3:-X-Y+9Z

Stelsel 2:
1:4X-4Y-4Z
2:-2X+6Y-2Z
3:-2X-2Y+10Z

Deze telkens gelijkgesteld aan 8, dan in een matrix gestoken en dan kwam ik bovenstaande oplossingen. Er moet ergens nog een rekenfout inzitten, ik probeer opnieuw xD.

#11

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 december 2008 - 19:14

Waarom heb je twee stelsels? Er kan er toch maar één juist zijn? Maar goed, de rekenfouten laat ik aan jou/anderen over; volgens mij is dit de redenering die je moet volgen :D
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#12

ImmIx

    ImmIx


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 december 2008 - 19:31

IK HEB ET, na uren denkwerk is het eigenlijk toch niet zo moeilijk!! Ik ben een snelle werker en schrijf daardoor meestal weinig tussenstappen. Dat is me deze keer bij de 3 bewerkingen(die ik altijd in één stap deed) fataal geweest. Ik heb alles netjes uitgeschreven. Hier is de uitwerking(ik ga de omvormingen ertussenuit laten):

Legende: 1) stelt de eerste stap voor, 2) stelt de tweede stap voor, 3) stelt de derde stap voor, X) stelt alles voor X voor, Y) alles voor Y en Z) alles voor Z, hier komt het!:

X)
1) x - y - z
2) 2.(x - y - z)
3) 4.(x - y - z)

Y)
1) 2y
2) 2y - (x - y - z) - 2z
3) 2.[2y - (x - y - z) - 2z]

Z)
1) 2z
2) 4z
3) 4z - [2.(x - y - z)] - [2y - (x - y - z) - 2z]

Als je uitendelijk alles uitwerkt( telkens de nummer 3)) en gelijkstelt aan 8 krijg je het volgende:
4x - 4y - 4z = 8
-2x + 6y - 2z = 8
-x - y + 7z = 8

GRM: rref([A]) => x = 13, y = 7, z = 4.
Volgens de bewerking in het vraagstuk klopt dit: x + y + z = 24.
Als je dan nog de vergelijkingen controleert:
4.13 - 4.7 - 4.4 = 8 KLOPT!
-2.13 + 6.7 - 2.4 = 8 KLOPT!
-13 - 7 + 7.4 = 8 KLOPT!

Eigelijk kon ik het helemaal zelf, maar dat zal wel aan de stress liggen, jullie hebben mijn taak verlicht door jullie steun en uiteindelijk is het gelukt xD. Tot nu toe heeft dus elk vraagstuk(waarvan ik de middelen ken om het op te lossen) onder mijn bewind gestaan. w00T => ik kan het toch!

Danku,danku,danku,danku!!!

Veranderd door ImmIx, 05 december 2008 - 19:32


#13

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 december 2008 - 20:30

Dat zijn inderdaad dezelfde vergelijkingen als in mijn post. Ik zie nu dat ik een klein rekenfoutje had gemaakt door in de derde vergelijking met +x i.p.v. -x te rekenen.

Fijn dat het gelukt is, en graag gedaan :D
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#14

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 december 2008 - 16:01

13, 7 en 4 zijn inderdaad de correcte antwoorden. Jammer dat het uren denkwerk heeft gevergd (want het is inderdaad niet zo moeilijk), maar het niet schrijven van tussenstappen is inderdaad dodelijk. Verder had je het met iets minder moeite ook kunnen oplossen. Je weet namelijk dat LaTeX . Nu heb je nog maar twee vergelijkingen nodig en kun je die lange vergelijking voor z (waar Phys zijn rekenfoutje maakte) laten vallen. Je krijgt dan:

LaTeX

Een tweede opmerking: ook al gebruik je een rekenmachine, maak er toch een gewoonte van om je vergelijkingen te vereenvoudigen. Dat klinkt misschien wat ouderwets (ik heb een wiskundeleerkracht van de oude stempel, vandaar), maar het bespaart je heel wat werk. De vergelijking LaTeX kun je bijvoorbeeld heel makkelijk vereenvoudigen tot LaTeX . Zo ook de vergelijking LaTeX . I.p.v. al die haakjes uit te werken, zwier je gewoon die 2 voorop naar het rechterlid en krijg je LaTeX .

Tot slot blijf ik het een omweg vinden om een stelsel te gebruiken, maar als er op het examen staat dat dit vereist is, moet je dat maar doen. Het kan echter veel gemakkelijker:

We beginnen met de eindsituatie waarin iedereen € 8 heeft:

LaTeX

Je weet dat het geld van de eerste twee personen na de laatste handeling verdubbeld werd. Voor die laatste handeling hadden ze dus allebei de helft van wat ze nu hebben (€ 4). De derde persoon heeft de rest (€ 16):

LaTeX

Dit is de situatie na de tweede handeling. Voor die tweede handeling hadden de eerste en de derde persoon dus allebei de helft van wat ze nu hebben (€ 2 voor de eerste en € 8 voor de derde). De tweede persoon heeft de rest (€ 14):

LaTeX

Dit is de situatie na de eerste handeling. Voor die eerste handeling (= de oorspronkelijke situatie) hadden de tweede en de derde persoon dus allebei de helft van wat ze nu hebben (€ 7 voor de tweede en € 4 voor de derde). De eerste persoon heeft de rest (€ 13):

LaTeX

Op de laatste regel staat de oorspronkelijke situatie. Vraagstuk opgelost met een tabelletje van twaalf getallen en zonder al dat gepruts met x, y en z. Abstract denken is goed, maar niet altijd nodig.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!






2 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 2 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures