Springen naar inhoud

[wiskunde] cijfers van een kluis


  • Log in om te kunnen reageren

#1

carbon

    carbon


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2008 - 17:17

Ai, combinatoriek blijft me toch een probleem vormen :D

Eer ik mijn probleem post: zou iemand mij kunnen linken naar de afleiding voor combinaties met herhaling (vertrekkend van variaties of gewone combinaties)?

Nu het vraagstuk: "De vrouw van Blauwbaard wil de kluis van haar man kraken voor hij thuiskomt. De code bestaat uit 4 cijfers uit {0,1,...,9}. Het intikken van een code duurt 2 seconden, en het aantal seconden dat de kluis nodig heeft om een code te controleren is gelijk aan het aantal verschillende cijfers in de code. Hoeveel tijd heeft de vrouw maximaal nodig als ze weet dat het eerste en het laatste cijfer van de code gelijk zijn?"

Poging:

Aangezien het 4e cijfer gelijk is aan het eerste, zorgt het voor geen extra mogelijkheden en laat ik het bijgevolg verder weg.

Geval 1:

3 verschillende cijfers: LaTeX combinaties
LaTeX

Geval 2:
2 verschillende cijfers: LaTeX combinaties (redenering: neem eerst de totale combinaties van 3 verschillende cijfers, dit getal is te groot, want het herhaalde getal wordt als een nieuw getal gezien, dus deel door de permutaties van het herhaalde getal)
LaTeX

Geval 3:

1 verschillend cijfer: 10 mogelijkheden
LaTeX

Dus:

LaTeX

Maar:

Achteraan in het boek staat 471 (zonder eenheden trouwens, nogal vaag).

En zelfs als het antwoord in het boek fout is, moet ik ook een fout hebben, aangezien alle mogelijke combinaties van 3 getallen er LaTeX zijn, terwijl ik LaTeX uitkom...

Wat doe ik verkeerd?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Burgie

    Burgie


  • >250 berichten
  • 582 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2008 - 22:06

Je aanpak is goed, en zeker de controle voor jezelf die je uitvoert op het einde!

Je maakte een foutje bij het 2de geval...
Ik zou eerst en vooral voor mezelf symbolisch eens opschrijven welke gevallen kunnen voorkomen. Stel dat X en Y de twee getallen voorstellen; de mogelijkheden worden dan: LaTeX , LaTeX en LaTeX .

Nu wiskundig...
Kies 2 getallen uit 10 mogelijke getallen. Neem hiervoor aan dat de volgorde van belang is; de eerste die getrokken wordt, wordt het eerste getal (hier X genoteerd). Dit wordt dus een variatie van 2 elementen uit een totaal van 10 elementen. Eenmaal dit al vastligt moet je nog de 2 andere posities bezetten. Het aantal mogelijkheden hiervoor is niets anders dan een herhalingsvariatie van 2 elementen uit een totaal van 2 elementen MAAR aangezien jij het geval LaTeX apart moet beschouwen moet je deze ervan aftrekken. Dit wordt dus LaTeX mogelijkheden.

Het antwoord wordt uiteindelijk 4710 seconden, en je controle zal deze keer wel kloppen :D.

In verband met de herhalingscombinatie: de manier waarop ik het ooit heb uitgelegd (en bewezen heb) gekregen, vind je op volgende link. Ik stel dan ook voor dat je deze link eerst eens bekijkt. Als je het dan nog niet ziet kan je hier je vragen stellen.

#3

carbon

    carbon


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2008 - 22:51

Ah dank u :D Op zich begrijp ik je uitleg, maar het voelt me niet zo natuurlijk aan (wat wel te verwachten is bij combinatoriek, hoewel het een vorm van logica(?) is).

Persoonlijk zou ik dan deze methode verkiezen: aantal combinaties van 2 verschillende getallen mogelijk uit 10 en dit maal de permutaties mogelijk bij 3 elementen.

LaTeX

Ach ja, ik weet dat het niet zoveel uitmaakt, maar ik probeer een soort inzicht te kweken in deze zaken. Zonder jouw hulp zou het zeker niet gelukt zijn, waarvoor dank dus. Interessant dat er vaak (altijd?) meerdere manieren zijn.

Ik heb de link bekeken. Het is een gelijkaardige uitleg zoals ik in de klas heb gezien. Maar mij lijkt het zo'n pseudo-bewijs. Het lijkt een trukje ipv harde algebra. Al kunnen in de wiskunde zulke trukjes vaak het meest efficiŽnt zijn...

Bedankt voor de hulp, al blijf ik moeite hebben om de fout te zien in mijn originele redenering van variatie van 3 uit 10 gedeeld door de permutaties van 2 elementen... Het is overduidelijk fout, zo blijkt, maar ik kan niet inzien waar het dan in de redenering zit... Wat berekent het extra? Lastig als blijkt dat ik niet op mijn redenering kan vertrouwen. Klopt trouwens mijn bovengenoemde nieuwe manier met combinaties en permutaties wel?

#4

Burgie

    Burgie


  • >250 berichten
  • 582 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2008 - 23:15

[quote name='carbon' post='471311' date='5 December 2008, 22:51']Persoonlijk zou ik dan deze methode verkiezen: aantal combinaties van 2 verschillende getallen mogelijk uit 10 en dit maal de permutaties mogelijk bij 3 elementen.

Bericht bekijken
Ach ja, ik weet dat het niet zoveel uitmaakt, maar ik probeer een soort inzicht te kweken in deze zaken. Zonder jouw hulp zou het zeker niet gelukt zijn, waarvoor dank dus. Interessant dat er vaak (altijd?) meerdere manieren zijn.[/quote]
Er zijn inderdaad vaak meerdere manieren (of noem het eerder 'gedachtengangen'). Op zich is dat wel goed, zo heb je wat meer vrijheid in het bedenken van een mogelijke oplossing.

[quote name='carbon' post='471311' date='5 December 2008, 22:51']Ik heb de link bekeken. Het is een gelijkaardige uitleg zoals ik in de klas heb gezien. Maar mij lijkt het zo'n pseudo-bewijs. Het lijkt een trukje ipv harde algebra. Al kunnen in de wiskunde zulke trukjes vaak het meest efficiŽnt zijn...[/quote]
Hoewel het op een trukje lijkt, is het toch een sluitend bewijs. Het is op te vatten als een symbolische voorstelling van het gesteld probleem. Via google kwam ik bvb. ook op Bericht bekijken
Bedankt voor de hulp, al blijf ik moeite hebben om de fout te zien in mijn originele redenering van variatie van 3 uit 10 gedeeld door de permutaties van 2 elementen... Het is overduidelijk fout, zo blijkt, maar ik kan niet inzien waar het dan in de redenering zit... Wat berekent het extra? Lastig als blijkt dat ik niet op mijn redenering kan vertrouwen. Klopt trouwens mijn bovengenoemde nieuwe manier met combinaties en permutaties wel?[/quote]
Ik zie niet meteen in waar je naartoe wou met die berekeningswijze. Even overlopen... een variatie van 3 uit 10; hiermee pik je 3 verschillende getallen waarbij de volgorde van belang is. Vervolgens deel je dit door een permutatie van 2, met andere woorden, je deelt dit door het aantal manieren waarop je 2 elementen kunt ordenen. Ik zie helemaal niet in hoe je hiertoe kwam, maar misschien helpt bovenstaande al wat om je fout in te zien? Anders post je maar even je volledige gedachtengang.

Veranderd door Burgie, 05 december 2008 - 23:22


#5

carbon

    carbon


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 december 2008 - 13:40

Sorry dat ik zo laat antwoord; al volop bezig met de examens.

Ik hoop dat ik hier nog een antwoord op krijg:

Dus ik dacht, ik kan de variaties nemen van 3 versch getallen en dat dan delen door de permutaties van het herhaalde getal, aangezien daar geen onderscheid is als nieuw getal, voorbeeld:

a b c
a c b

zijn beide uitkomsten van variatie 3 uit 10, maar aangezien ik maar met 2 verschillende getallen werk (a & b bijvoorbeeld) moet ik c veranderen door een b:

a b b
a b b

Ik krijg twee dezelfde dus ik deel door twee...

Ik wťťt dat het fout is omdat mijn antwoord niet past, maar ik snap de fout in mijn redenering niet...

Bedankt als je die kunt aanwijzen!

BTW: ken je mss online wat oefeningetjes om combinatoriek-redeneren mee te oefenen? aangezien ik er daar volledig langs zit

Veranderd door carbon, 09 december 2008 - 13:45


#6

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 december 2008 - 14:16

Sorry dat ik zo laat antwoord; al volop bezig met de examens.

Het lijkt mij juist goed dat je zo ijverig studeert! Ikzelf zit ook in de examenperiode en toch hang ik nog godganse dagen op dit forum rond.

BTW: ken je mss online wat oefeningetjes om combinatoriek-redeneren mee te oefenen? aangezien ik er daar volledig langs zit

Enkele eenvoudige oefeningen vind je hieronder (variaties, permutaties en combinaties met en zonder herhaling, soms is de opgave wat minder duidelijk over wat je hoort te gebruiken):

1) Het spelletje Mastermind begint met het vormen van een geheime code door 4 pinnetjes in een bepaalde volgorde te plaatsen. De pinnetjes worden gekozen uit 6 verschillende kleuren en herhaling is toegelaten. Hoeveel verschillende codes kan men vormen?

2) Op hoeveel manieren kan uit 5 soorten pralines een doosje van 20 pralines worden samengesteld als elke soort onbeperkt voorradig is?

3) Op hoeveel manieren kunnen zeven soldaten en drie sergeanten in een rij staan als de drie sergeanten vooraan moeten staan?

4) In een klas van 12 leerlingen worden 3 verschillende leerlingen aangeduid als verantwoordelijken voor respectievelijk de vakken Frans, Engels en wiskunde. Op hoeveel wijzen kan deze taakverdeling gebeuren?

5) De wekelijkse trekking van het Jokernummer gebeurt als volgt: een getal van 7 cijfers wordt gevormd door te trekken met terugleggen uit de cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hoeveel verschillende Jokernummers kunnen aldus gevormd worden?

6) Hoeveel getallen van 6 cijfers kan men vormen met de cijfers 1, 8, 9 als die cijfers respectievelijk 1 keer, 2 keer en 3 keer optreden?

7) Hoeveel onvereenvoudigbare eentermen van de gedaante a7b4c2 kan men vormen met de letters a, b, c, d, e, f?

8) Op hoeveel manieren kan men zeven ringen, alleen te onderscheiden door hun kleur, om een stok leggen?

9) Op hoeveel manieren kunnen 10 personen een warenhuis binnengaan als er 4 ingangen zijn?

10) Het invullen van een Lottowedstrijdformulier gebeurt als volgt: uit de nummers 1 tot en met 42 dient men er zes verschillende aan te kruisen. Op hoeveel verschillende manieren kan men een Lottowedstrijdformulier invullen?

11) Jantje wil 10 snoepjes van 50 eurocent elk kopen. Hij kan kiezen uit 5 verschillende soorten snoep, elk met een prijs van 50 eurocent per stuk. Hoeveel verschillende keuzes kan Jantje maken?

12) Op een bord staan de namen van vijf steden. Men beschikt over vijf plankjes met namen van landen die elk naast een stad worden geplaatst.
  • Hoeveel eindresultaten zijn er mogelijk als alle landen verschillend zijn?
  • Hoeveel eindresultaten zijn er mogelijk als Zwitserland driemaal voorkomt en BelgiŽ tweemaal?
13) Acht vrienden gaan samen tennissen.
  • Hoeveel verschillende partijen enkelspel kunnen deze personen spelen?
  • Hoeveel verschillende partijen dubbelspel kunnen deze personen spelen?
14) In een vaas zitten 4 witte bollen, 3 rode bollen en 2 groene bollen. Men neemt de 9 bollen achtereenvolgens uit de vaas. Op hoeveel manieren kunnen de kleuren elkaar opvolgen?

15) In een klas van 12 leerlingen wordt voor elk correct antwoord een extra punt toegekend. Op hoeveel manieren kunnen 9 extra punten onder de 12 leerlingen verdeeld worden.

Te gemakkelijk? Onduidelijk? Uitgewerkte oplossing? Je roept maar.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#7

Burgie

    Burgie


  • >250 berichten
  • 582 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 december 2008 - 18:31

Ik hoop dat ik hier nog een antwoord op krijg:

Dus ik dacht, ik kan de variaties nemen van 3 versch getallen en dat dan delen door de permutaties van het herhaalde getal, aangezien daar geen onderscheid is als nieuw getal, voorbeeld:

a b c
a c b

zijn beide uitkomsten van variatie 3 uit 10, maar aangezien ik maar met 2 verschillende getallen werk (a & b bijvoorbeeld) moet ik c veranderen door een b:

a b b
a b b

Ik krijg twee dezelfde dus ik deel door twee...

Heb je er al eens over nagedacht wat er gebeurt als je volgende combinaties trekt:

a b d
a d b
a b e
a e b
etc.

Jouw redenering volgend: "Allen zijn uitkomsten van een variatie van 3 uit 10, maar aangezien ik maar met 2 verschillende getallen werk (a & b bvb.) moet ik d en e (etc.) veranderen door een b:

a b b
a b b
a b b
a b b
etc. "

Zie je het gebeuren? Je mag dan wel delen door 2... je neemt er nog veel te veel mee in je eindoplossing.

Het is trouwens helemaal niet erg dat je nog zo laat post; moest het wel even allemaal herlezen voor ik terug wist wat het probleem weer was. Als je nog vragen/problemen hebt, je post maar (of je kunt Klintersaas "roepen" :D).

#8

carbon

    carbon


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 december 2008 - 15:02

Klintersaas - die had je snel bij de hans :D bedankt! Ik heb er eens een paar overlopen, ze gingen. Vragen 7 snapte ik niet echt... moet de som van de machten altijd 13 zijn of ook altijd in de volgorde 7 - 4 - 2 of zo...

Burgie - bedankt dat je je er nog eens op wierp :P
Hmm, maar met die redenering zou je toch een veel groter getal verwachten dan 360 terwijl de juist oplossing 270 is, die factor 90 verschil blijft me storen, dat betekent dat er iets kleins is dat er na de 3 keer wordt bijgeteld, maar ik weet niet wat.

#9

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 december 2008 - 16:19

Klintersaas - die had je snel bij de hans :D bedankt! Ik heb er eens een paar overlopen, ze gingen.

Graag gedaan, wil je er nog, of kun je geen combinatoriek meer zien?

Vragen 7 snapte ik niet echt... moet de som van de machten altijd 13 zijn of ook altijd in de volgorde 7 - 4 - 2 of zo...

Ik geef toe dat het een verwarrende vraag is. Het is de bedoeling om uit de letters a, b, c, d, e en f drie letters te kiezen en die in te vullen. Een aantal voorbeelden: a7f4b2, a7d4e2, c7b4a2, b7a4c2,... Hier zie je meteen dat de volgorde belangrijk is, want c7b4a2 is iets anders dan b7a4c2. Verder mag je niet herhalen, want dan is de eenterm niet langer onvereenvoudigbaar. Als je bijvoorbeeld a7a4c2 zou kiezen, dan valt dat namelijk te vereenvoudigen tot a13c2. Je hebt hier dus te maken met een variatie van 6 elementen 3 aan 3:

LaTeX

Jouw formule is de volgende:

LaTeX

Jij zit er dus een factor 90 naast.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#10

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 december 2008 - 17:15

EDIT: Misschien nog een manier om te zien dat je te weinig corrigeert:

We vertrekken van de algemene formule voor het aantal variaties van n elementen p aan p:

LaTeX

Laten we nu eens kijken wat de correctiefactor is tussen twee opeenvolgende aantallen variaties (dus tussen het aantal variaties van n elementen p aan p en het aantal variaties van n elementen p+1 aan p+1). We noemen die correctiefactor x:

LaTeX

De correctiefactor bedraagt dus LaTeX .

Toegepast op de opgave:

LaTeX

Om LaTeX voldoende te corrigeren, dienen we dus te vermenigvuldigen met LaTeX . Jij deelde door 2 (het aantal permutaties van 2 elementen), wat overeenkomt met vermenigvuldigen met LaTeX of anders geschreven LaTeX . Je corrigeert bijgevolg te weinig.

Dit alles is echter een heuse omweg en geef ik enkel ter verduidelijking. Als ik je verwar, zeg het dan en negeer deze uitleg.

Veranderd door Klintersaas, 11 december 2008 - 17:17

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#11

carbon

    carbon


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 december 2008 - 21:54

Hmm, dus je moet een factor 3/8 hebben ipv 4/8 (gedeeld door twee dus)

maar kun je dan van 3 variaties uit 10 niet naar de juiste oplossing raken? Mijn redenering lijkt mij zo logisch, dat als je doet alsof je twee getallen kunt omwisselen, ze eigenlijk hetzelfde zijn...

Trouwens bedankt voor de uitgebreide hulp :D

Zou je mogelijk kunnen ingaan op de redenering?

#12

Burgie

    Burgie


  • >250 berichten
  • 582 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 december 2008 - 23:27

Hmm, dus je moet een factor 3/8 hebben ipv 4/8 (gedeeld door twee dus)

maar kun je dan van 3 variaties uit 10 niet naar de juiste oplossing raken? Mijn redenering lijkt mij zo logisch, dat als je doet alsof je twee getallen kunt omwisselen, ze eigenlijk hetzelfde zijn...

Trouwens bedankt voor de uitgebreide hulp :D

Zou je mogelijk kunnen ingaan op de redenering?

Als je het echt op een gecompliceerde manier wilt oplossen die iedereen 20 keer zal moeten herlezen voor ze het snappen, dan kan het wel gebruik makende van jouw "3 variaties uit 10" :P.

Gebruik de uitleg die ik hierboven vermeldde. Met jouw variatie zal je veel te veel mogelijkheden meenemen in het antwoord. Jouw variatie van 3 uit 10 zal je moeten delen door 16 (= 2*8) Waarom...? Bekijk mijn uitleg hierboven. Als je het niet meteen inziet zou ik je gewoon aanraden af te stappen van jouw methode. Maar je bent er nog niet. Nu heb je slechts 2 elementen. Dit getal zal je dus moeten vermenigvuldigen met de permutatie van 3, om alle mogelijke schikkingen ook nog in acht te nemen.
In z'n totaal wordt dit dus: LaTeX .





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures