Springen naar inhoud

[wiskunde] eigenruimten?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

leoxd

    leoxd


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 december 2008 - 10:40

Een bewijsvraag waar ik niet uitkom.
Vraag:
Laat ''labda'' een eigenwaarde zijn van de n x n matrix A. Bewijs dat de deelverzameling van Rn (Cn) bestaande uit de nulvector en alle eigenvectoren van A geassocieerd met ''labda'', een deelruimte is van Rn(Cn). Deze deelruimte wordt de eigenruimte geassocieerd met ''labda'' genoemd.

De term eigenruimte is me nog niet compleet duidelijk, maar In
heeft als eigenruimte een kolom met 1-en zo groot als n. De eigenruimte kan geen dimensie groter hebben dan n.

Veranderd door leoxd, 07 december 2008 - 10:40


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 december 2008 - 11:38

Een bewijsvraag waar ik niet uitkom.
Vraag:
Laat ''labda'' een eigenwaarde zijn van de n x n matrix A. Bewijs dat de deelverzameling van Rn (Cn) bestaande uit de nulvector en alle eigenvectoren van A geassocieerd met ''labda'', een deelruimte is van Rn(Cn). Deze deelruimte wordt de eigenruimte geassocieerd met ''labda'' genoemd.

Wat zijn de voorwaarden om van een deelruimte te mogen spreken? Ga die na voor deze situatie.

De term eigenruimte is me nog niet compleet duidelijk,

Een eigenruimte horend bij LaTeX is een vectorruimte die bestaat uit alle eigenvectoren (en de nulvectoren) die corresponderen met die gegeven eigenwaarde LaTeX .

Veranderd door Klintersaas, 07 december 2008 - 11:42

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#3

leoxd

    leoxd


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 december 2008 - 11:49

een definitie: C is een deelruimte van R als C een vectoruimte is m.b.t. de operaties in R, dan is C een deelruimte van R.

Dus er moet bewezen worden dat de eigenruimte van een bepaalde ''labda'' een deelruimte is van Rn, dus op te bouwen is uit kolomvectoren van In?

#4

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 december 2008 - 11:58

een definitie: C is een deelruimte van R als C een vectoruimte is m.b.t. de operaties in R, dan is C een deelruimte van R.

Specifieker. Een verzameling C is een deelruimte als en slechts als:
  • C de nulvector bevat;
  • Als u en v elementen zijn van C, dan is hun som u+v ook een een element van C;
  • Als u een element is van C en k is een reŽel getal, dan is ook het scalair product ku een element van C.
Voorwaarde 1 is reeds voldaan. Ga nu de twee andere voorwaarden na.

PS: Bovenstaande is misschien niet 100% wiskundig correct genoteerd, maar het geeft je een goed idee van wat je zoekt.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#5

leoxd

    leoxd


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 december 2008 - 12:05

Dus bijv. zoiets?
LaTeX X1 = uX1 + vx2+...kXn
LaTeX X2 = (u+v)X1 + x2 +....kXn
LaTeX X3 = 0
Maar dat valt toch moeilijk na te gaan als u en v niet bekend zijn. Of u = -v.

Veranderd door leoxd, 07 december 2008 - 12:13


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 december 2008 - 13:57

Veronderstel dat de er bij λ, k (met k :D n) lineair onafhankelijke eigenvectoren horen.
Je moet dan de verzameling LaTeX beschouwen, is dit een deelruimte?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

leoxd

    leoxd


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 december 2008 - 14:06

LaTeX
Dit zou een deelruimte moeten zijn van de Rn. Met een dimensie gelijk aan het aantal lineair onafhankelijke vectoren?Omdat er 1 nulvector bij zal dit bijv. in de R3 nooit meer kunnen opspannen dan een vlak(x,y).

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 december 2008 - 14:08

We zitten niet in :D≥, dit is algemener. De vraag is dus eigenlijk: zijn eigenvectoren (horend bij een zekere eigenwaarde) gesloten onder het nemen van lineaire combinaties? Nog met andere woorden: is elk veelvoud van een eigenvector terug een eigenvector en is de som van twee verschillende eigenvectoren ook weer een eigenvector (zie bericht Klintersaas)? Je kan dit eenvoudig nagaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

leoxd

    leoxd


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 december 2008 - 14:17

Nu begrijp ik pas wat ze met de vraag willen bewijzen ;p Een veelvoud k van een eigenvector is niet meer de eigenvector van de oorspronkelijke matrix(A), maar k maal(A). Eigenvectoren optellen..geeft dat ook een eigenvector van die matrix? ( bijv. (1,0,0) + (0,1,0) = (1,1,0) dan ook een eigenvector van die matrix?

#10

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 december 2008 - 15:23

Denk aan de vraag! Er wordt gevraagd "Bewijs", niet "Bewijs of geef een tegenvoorbeeld". Je weet dus al dat het klopt, je weet waar je naartoe moet. Ga gewoon na of de som van twee eigenvectoren opnieuw een eigenvector is en of het product van een eigenvector met een reŽel getal (= een veelvoud van een eigenvector) opnieuw een eigenvector is.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#11

leoxd

    leoxd


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 december 2008 - 15:30

Bedankt voor alle hulp :D Nu staat er al een redelijk solide bewijs op papier.

#12

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 december 2008 - 15:35

Zou je het eens met ons willen delen?

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 december 2008 - 16:53

Een veelvoud k van een eigenvector is niet meer de eigenvector van de oorspronkelijke matrix(A), maar k maal(A).

Toch wel, een veelvoud van een eigenvector is nog steeds een eigenvector...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures