[wiskunde] vereenvoudigen van faculteitsoperaties

aber

Hallo allemaal,

Ik zit vast bij het volgende:

2n! / (2n)!

= 2*(n)*(n-1)*(n-2) ... / 2n*(2n-1)*(2n-2)* ...

=(n-1)*(n-2)*... / (2n-1)*(2n-2)*...

De oefening zou volgens het oplossingenboek uitkomen op 2 / (n+1)*(n+2)... (2n)

Ik zie niet echt in hoe je daar aan kan komen, ik heb verschillende afzonderingen geprobeerd maar ik kom nooit aan deze uitkomst.

Wie kan en wil mij helpen?

Alvast bedankt hoor.

TD

Eens de nuttige stukken uitschrijven:

\(\frac{{2n!}}{{\left( {2n} \right)!}} = 2\frac{{n\left( {n - 1} \right) \cdots 2 \cdot 1}}{{\left( {2n} \right)\left( {2n - 1} \right) \cdots \left( {n + 1} \right)n\left( {n - 1} \right) \cdots 2 \cdot 1}}\)

aber

TD, bedankt voor je antwoord.

Ik begrip niet hoe je aan (n+1)n(n-1) in de noemer komt, volgens mij mis ik iets van het basisprincipe.

Phys

(2n)! = (2n) (2n-1) (2n-2) (2n-3) ... (2) (1), dat begrijp je?

Nu zal er dus een moment in dit product komen dat je de factor (n+1) tegenkomt, en de volgende factor is n, en de volgende factor is n-1 (en de volgende (n-1), etc.)

TD

Of nog anders: (2n)! = (2n)(2n-1)(2n-2)...(n+1)n!

aber

Bedankt, nu ben ik helemaal mee met het basisprincipe.

Ik heb nog een vraag hoe je aan dit soort oefeningen begint:

(ik heb het maar in een afbeelding gezet omdat paste van mijn programma blijkbaar niet werkt)

Klintersaas

Wat dacht je van op gelijke noemer brengen van het linkerlid en uitwerken?

TD

Zet de breuken in het linkerlid eens op dezelfde noemer als de breuk van het rechterlid, door met gepaste factoren teller en noemer te vermenigvuldigen. Dan optellen en eens kijken...

aber

Ik was al begonnen met beide termen in het linkerlid op gelijke noemer te zetten (zoals Klintersaas ook zou beginnen) maar ik zat vast:

n!*(k-1)!*(n-k+1)! + n!*k!*(n-k)! / k!*(n-k)!*(k-1)!*(n-k+1)!

=n!*(k-1)!*(n-k+1)*(n-k)! + n!*k*(k-1)!*(n-k)! / k!*(n-k)!*(k-1)!*(n-k+1)!

=n!*(n-k+1) + n!*k / k!*(n-k+1)! (bekomen door schrapping van factoren)

Dan heb ik de noemer al, maar omdat de teller niet meer kan omgezet worden naar het gevraagde, vermoed ik dat er erges een fout zit in mijn berekening.

TD

Je maakt de noemer te groot, zet op dezelfde noemer als het rechterlid. Eerste breuk:

\(\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{\left( {n - k + 1} \right)n!}}{{k!\left( {n - k + 1} \right)\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{\left( {n - k + 1} \right)n!}}{{k!\left( {n - k + 1} \right)!}}\)

Gelijkaardig voor de tweede breuk, waarmee zal je daar in teller en noemer moeten vermenigvuldigen?

aber

Inderdaad! Ik moet de tweede breuk gewoon met k vermenigvuldigen.

Daarna kan ik in de teller de n! afzonderen waardoor er enkel (n+1)*n! overblijft, wat gelijk is aan (n+1)!

Bedankt voor de hulp!!

Kennen jullie een boek/site met dergelijke oefeningen (faculteitsoperaties) en uitgewerkte oplossingen?

Er wordt maar weinig aandacht besteed aan faculteitsoperaties in de boeken en cursussen die ik hier heb.

Klintersaas

Het is inderdaad een veelvoorkomend probleem dat studenten bij het op gelijke noemer zetten alle factoren die ze in de noemers zien staan gewoon overnemen en zich zo erg veel overbodig werk op de hals halen. Bezint eer ge begint en kijk altijd eerst of twee factoren niets gemeenschappelijks hebben (wat bij faculteiten vaak het geval is).

aber schreef:Kennen jullie een boek/site met dergelijke oefeningen (faculteitsoperaties) en uitgewerkte oplossingen?

Er wordt maar weinig aandacht besteed aan faculteitsoperaties in de boeken en cursussen die ik hier heb.

Ik meen dat in het deel "Statistiek - Combinatieleer - Kansrekening" uit de reeks wiskundeboeken door E. Jennekens en G. Deen een aantal van deze oefeningen staan. De oplossingen staan normaliter achteraan in het boek (zonder uitwerking). Als je wilt, kan ik ook even een oude cursus van me gaan opzoeken waar dergelijke oefeningen instaan inclusief uitgewerkte oplossing.

Klintersaas

Ik begin met de oefeningen uit mijn cursus (ingescand):

[attachment=2878:Oefening...ulteiten.pdf]

[attachment=2879:Oefening...iten__2_.pdf]

Dit zijn de verbeteringen:

[attachment=2880:Oefening...etering_.pdf]

aber

Heel erg bedankt voor de moeite Klintersaas!

Klintersaas

Graag gedaan. Als ze te moeilijk/te makkelijk/onduidelijk zijn, roep je maar. Mocht je besluiten dat je nog wat oefening kunt gebruiken, dan denk ik dat ik je nog een opgave of vijf kan leveren.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] vereenvoudigen van faculteitsoperaties

[wiskunde] vereenvoudigen van faculteitsoperaties

Re: [wiskunde] vereenvoudigen van faculteitsoperaties

Re: [wiskunde] vereenvoudigen van faculteitsoperaties

Re: [wiskunde] vereenvoudigen van faculteitsoperaties

Re: [wiskunde] vereenvoudigen van faculteitsoperaties

Re: [wiskunde] vereenvoudigen van faculteitsoperaties

Re: [wiskunde] vereenvoudigen van faculteitsoperaties

Re: [wiskunde] vereenvoudigen van faculteitsoperaties

Re: [wiskunde] vereenvoudigen van faculteitsoperaties

Re: [wiskunde] vereenvoudigen van faculteitsoperaties

Re: [wiskunde] vereenvoudigen van faculteitsoperaties

Re: [wiskunde] vereenvoudigen van faculteitsoperaties

Re: [wiskunde] vereenvoudigen van faculteitsoperaties

Re: [wiskunde] vereenvoudigen van faculteitsoperaties

Re: [wiskunde] vereenvoudigen van faculteitsoperaties