Springen naar inhoud

[wiskunde] locale maxima en minima 2 variabelen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Amon

    Amon


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 december 2008 - 19:43

Hallo
Moet voor de functie
f(x,y)=(x2+3y2)e(1-x^2-y^2)

de lokale maxima en minima vinden en deze ook classificeren.
Hoe ik te werk wil gaan:
De punten vinden door de afgeleide naar x (fx) gelijk te snellen aan 0 en de afgeleide naar y (fy) gelijk te stellen aan 0.
Vervolgens wil ik met behulp van de Hessiaan de punten classificeren. De Hessiaan is de matrix:
fxx fxy
fxy fyy

Aanvankelijk van hoeveel stationaire punten ik vind, ga ik dit zo vaak invullen in de Hessiaan. Daarvan ga ik de eigenwaarden berekenen.
Als deze beiden groter zijn dan 0, dan is het een minimum, als ze beiden kleiner zijn dan 0, dan een maximum. Als de een positief is en de ander negatief heb je een zadelpunt en als ze 0 zijn of elke andere situatie (complex bijv.) dan kan je er niks over zeggen...

Mijn probleem komt bij het vinden van de stationaire punten.
Als fx heb ik: fx=(x+3y)e^1-x-y * -2x + 2x e^1-x-y = 2x ( 1 (f(x,y))
En als fy: fy=(x+3y)e^1-x-y * -2y + 6y e^1x-y = 2y ( 3-(f,x,y))

Deze gelijkstellen aan 0 levert in ieder geval al x=0 en y=0
Maar dan, hoe bereken ik f(x,y) = 11 en f(x,y)=3
Ik dacht dat ik het kon oplossen door te zeggen:
x+3y = A
e^1-x-y = B
dan krijg je
AB=1
AB=3
maar dat klopt niet echt...

Iemand enig idee?
Bvd.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44874 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 december 2008 - 19:59

Dag Amon, welkom :D op het forum Huiswerk en Practica.

Jij wilt vlot hulp. Dat is alleen goed mogelijk als je daar zelf wat voor doet.

Naast de algemene regels van dit forum hebben we voor dit huiswerkforum een paar speciale regels en tips.
Die vind je in de huiswerkbijsluiter

In die huiswerkbijsluiter staat bijvoorbeeld:

VAKGEBIED-TAGS
Plaats het vakgebied waarop je vraag betrekking heeft tussen rechte haken in de titel.
bijv: [biologie] of [frans]. Zo blijft dit huiswerkforum overzichtelijk.

Hebben we even voor je gedaan. Denk je er de volgende keer zlf aan??

ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 07 december 2008 - 21:06

Moet voor de functie
f(x,y)=(x2+3y2)e(1-x^2-y^2)
de lokale maxima en minima vinden en deze ook classificeren.

Mijn probleem komt bij het vinden van de stationaire punten.
Als fx heb ik: fx=(x+3y)e^1-x-y * -2x + 2x e^1-x-y = 2x ( 1 (f(x,y))
En als fy: fy=(x+3y)e^1-x-y * -2y + 6y e^1x-y = 2y ( 3-(f,x,y))

fx=(x+3y)e^(1-x-y) * -2x + 2x e^(1-x-y) =2xe^(...)(1-(x+3y))
fy=(x+3y)e^(1-x-y) * -2y + 6y e^(1x-y) =2ye^(...)(3-(x+3y))

Probeer het nu nog eens! En sla acht op je (eigen) ontbinding.

Veranderd door Safe, 07 december 2008 - 21:09


#4

Amon

    Amon


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 december 2008 - 22:09

Mijn excuus voor het weglaten van [wiskunde], ik zal er de volgende keer aan denken.


Mijn ontbinding was een beetje slordig...
Nu heb ik dus
0 = 2x e^1-x-y * (1-(x+3y))
Dus x = 0, want e^... kan nooit 0 zijn
en 1=x+3y

Zelfde geldt voor y, dan heb je:
y=0 en 3=x + 3y

Maar hoe moet ik deze nu oplossen?

Veranderd door Amon, 07 december 2008 - 22:10


#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 december 2008 - 22:20

Uit de eerste vergelijking haalde je al x = 0 of x+3y=1.
Ga uit van x=0 en stop dit in de tweede vergelijking, wat vind je voor (de bijbehorende) y('s)?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 07 december 2008 - 22:38

Je moet de structuur begrijpen.
Je hebt twee voorw: f_x=0 n f_y=0, let op het woordje n.
f_x=0 leidt tot x=0 of x+3y=1, let op het woordje of.
f_y=0 leidt tot y=0 of x+3y=3, idem.
Je kan nu zeggen: (x=0 n y=0) of (x=0 n x+3y=3)
Dan wel: ... of (y=0 n x+3y=1.
Uiteraard moet je het hiermee eens zijn, of stel anders vragen.
Jij verder.

#7

Amon

    Amon


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 december 2008 - 13:45

Oh, dus je kan x=0 hetzij y=0 gewoon invullen.
Ik krijg nu als stationaire punten:
(0,0),
(0,1/3 wortel 3), (0,-1/3 wortel 3)
(wortel 3, 0), (-wortel 3, 0 )

Nu moet ik deze dus invullen in de hessiaan, die eerst maar eens construeren:

fxx fxy
fxy fyy


Deze tweede afgeleiden zijn volgens mij redelijk veel werk...
Ik had al: fx=(x+3y)e^1-x-y * -2x + 2x e^1-x-y
Dat is zegmaar te schrijven als: A * e^B * -C + C*e^B
Is de tweede afgeleide dan gelijk aan:
A'*e^B*-C + A*e^B ' * -C + A*e^B*-C' + C e^B ' + C' e^B
Dus

e^B (-C A' +-C'A + C') + e^B ' (-A C + C)

Klopt die methode?

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 08 december 2008 - 14:05

Je doet het (denk ik) net fout.
Let nog eens op mijn post en probeer die structuur te begrijpen.
Vb: x=0 (uit f_x=0) n x+3y=3 (uit f_y=0), wat rolt hier dan uit? (y=0 uit f_y=0 heb je al gebruikt!).

#9

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 08 december 2008 - 14:11

De tweede afgeleide lijkt me toch het eenvoudigst uit het product:
f_x=2xe^(1-x-y)(1-x-3y), dus product- en kettingregel.
Na bepalen van f_(xx) en f_(xy) ook f_(yy) en f_(yx), dan moet blijken dat f_(xy)=f_(yx), een goede controle!

Veranderd door Safe, 08 december 2008 - 14:15


#10

Amon

    Amon


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 december 2008 - 14:28

Je doet het (denk ik) net fout.
Let nog eens op mijn post en probeer die structuur te begrijpen.
Vb: x=0 (uit f_x=0) n x+3y=3 (uit f_y=0), wat rolt hier dan uit? (y=0 uit f_y=0 heb je al gebruikt!).


Hmm. Ik had het volgende gedaan:
fx=0
2x e^1-x-y = 0 of x+3y = 1
x=0 want e^.. is nooit 0

x + 3y = 1
x=0 invullen
3y=1
y= +- wortel 1/3 = 1/3 wortel 3

En bij y hetzelfde, maar ik moet bij x y=0 invullen dus...
Dan zou het worden:
bij fx=0 geldt:
x+ 3y = 1
Invullen y=0

x = 1
x = +-1

Dus krijg ik (1,0) (-1,0)

En bij fy=0 had ik
fy=0
x+3y=3
x=0 invullen
3y=3
y=+- 1

Dus krijg je (0,1) en (0,-1)

Daarnaast had ik nog de oplossing (0,0)...
En nu op zoek naar de tweede afgeleiden:
Wat bedoel je met ketting en product regel? Die (tenminste de productregel) had ik al gebruikt... Bij -2x* e^.. * (x+3y) heb je toch 3 producten, dus krijg je als afgeleide toch: A'BC + AB'C + ABC' ?

#11

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 08 december 2008 - 16:56

Correct, bepalen maar.

#12

Amon

    Amon


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 december 2008 - 17:46

Ai, daar begint het schrijfwerk :P

fxx =
e^B (-C A' +-C'A + C') + e^B ' (-A C + C)
A=(x+3y)
B=1-x-y
C=2x

=e^1-x-y (-2x*2x + -2(x+3y)+2)+ -2x e^1-x-y (-2x(x+3y)+2x) (lekker ding :D)
=e^1-x-y (-8x+2+(4x-2)(x+3y))



fxy=
=(x+3y)e^1-x-y * -2x*-2y + 6y e^1-x-y * -2x + 2xe^1-x-y * -2y
=2x e^1-x-y (2y(x+3y)-6y -2y)
(gecontroleerd met fyx en dat kwam overeen, dus ze zijn allebei op dezelfde manier fout, of op dezelfde manier goed (ik hoop en denk het tweede :P)

fyy=
e^B (-C A' +-C'A + 3C') + e^B ' (-A C + 3C)
A=(x+3y)
B=1-x-y
C=2y

=e^1-x-y (-24y + 6 + (4y+2)(x+3y) (zie fxx)



Wat een schrijfwerk allemaal, nu eens 5 hessianen maken voor (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1) en (0,0):
En dan nog eigenwaarden berekenen, maar dat gaat wel lukken....

#13

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 08 december 2008 - 17:58

Ik snap hier niks van!
f_x=ABC, met A=2x, B=e^(1-x-y) en C=1-x-3y
Nu jij.

#14

Amon

    Amon


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 december 2008 - 20:22

Ik had bijna hetzelfde, fx = -2x*(x+3y)e^1-x-y + 2x e^1-x-y
Omgeschreven tot:
-C*A*e^B + C e^B

Maar ik kon natuurlijk ook gewoon e^(1-x-y) gelijk stellen aan B, dat maakt als het goed is toch geen verschil...

Laat ik dat eens doen, dan kom ik voor fxx op:
A' B (-C) + AB'(-C) + AB(-C)' + C B'+ C'B
Dit is gelijk aan:
B (A'(-C)+A(-C)'+C') + B' ( A(-C) + C)

Vervang de B door e^B zoals ik in mijn eerdere post deed, en dan invullen zodat daar fxx uit komt rollen...
Bij fxy heb ik die 'regel' niet gebruikt, maar gewoon direct gedaan. Bij fyy heb ik voor C 2y ingevuld en werd de regel iets anders...

Maar goed, als ik dus de 5 hessianen maak bij respectievelijk mijn 5 stationaire punten en daar dan de eigenwaarden van bereken, moet ik hieraan het gedrag ervan kunnen zien...
Dat klopt toch?

#15

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 08 december 2008 - 20:57

't is niet goed.
Ik zal het voordoen:
f_x=ABC, met A=2x, B=e^(1-x-y) en C=1-x-3y
f_xx=2*e^(...)(1-x-3y)+2x*e^(...)*-2x*(1-x-3y)+2x*e^(...)*-2x
f_xx=2e^(...){1-x-3y-2x(1-x-3y)-2x}

Ik denk dat dit wel verschilt.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures