Springen naar inhoud

[wiskunde] raakvlakken bol door een (0,0,5)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Amon

    Amon


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 december 2008 - 11:02

Het punt (0,0,5) ligt niet op de bol x^2+y^2+z^2=9. Bepaal alle vlakken die door dit punt gaan en aan de bol raken. Bereken voor elk vlak het punt waar dit vlak de bol raakt en laat zien dat al deze punten samen een cirkel vormen. (Hint: Maak een schets van de situatie.)

Ik heb het eerst dus getekend, dan krijg je een bol door de oorsprong met straal 3. Het punt (0,0,5) ligt erboven. Als je dus de raakvlakken gaat bekijken, zie je dat je een soort kegel krijgt met grondvlak ook het grondvlak van de bol (x≤+y≤=3) en als hoogte 5...

Om nu al die vlakken te berekenen heb ik het volgende geprobeerd:

Voor een raakvlak geldt: z=ax + by + c
c is hier 5.
Verder is het gradient van het raakvlak gelijk aan het gradient van de bol.
Dus: (2x,2y,2z) = (a,b,-1)
Daaruit volgt
x=a/2, y=b/2, z=-1/2z

Maar ik vermoed eigenlijk dat dit ene doodlopend spoor is...


De andere poging die ik gedaan heb is de volgende:
Voor het raakvlak geldt de eerste orde Taylorbenadering:
0=f_x(u,v,w)(x-u)+f_y(u,v,w)(y-v)+f_y(u,v,w)(z-w)
Ik noem ze u, v en w omdat ik a en b al heb gebruikt in mijn andere poging...

f(x,y,z)=x≤+y≤+z≤
dus:
0=2u(x-u)+2v(y-v)+2w(z-w)
Hoe nu verder?
Kan ik voor w = 5 invullen?

Alvast bedankt :D

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 december 2008 - 12:27

wel eens van 'half invullen' gehoord?
bv in 2D, de verg vd raaklijn in het punt (x1,y1) van de cirkel x≤+y≤=r≤ is ...?

#3

Amon

    Amon


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 december 2008 - 18:35

Vul je dan bij het gradient al x1 en y1 in?

Grad raaklijn(ax+b) is gelijk aan grad van f(x,y)=x≤+y≤-r≤

(a,-1) = (2x1,2y1)

dus is a gelijk aan 2x1 en aangezien y1 gelijk is aan -1/2, geldt:
y=2x1 * x + b = -1/2
y1=2x1+1/2

Of wat bedoel je precies?

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 december 2008 - 20:50

wel eens van 'half invullen' gehoord?
bv in 2D, de verg vd raaklijn in het punt (x1,y1) van de cirkel x≤+y≤=r≤ is ...?
dit wordt: x*x1+y*y1=r≤ en x1≤+y1≤=r≤.
want [x1,y1] is normaalvector van de raaklijn.
in 3D gebeurt hetzelfde om dezelfde reden.

#5

Amon

    Amon


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 december 2008 - 21:53

Aha, ik had er nooit van gehoord...
in 3D zou je dus bijv. de raakvlak in het punt (x1,y1,z1) aan x≤+y≤+z≤=9 zijn:
x*x1+y*y1+z*z1 = r≤=9

Goed, nu ik dit heb, moet ik nog naar het antwoord op de vraag toe:
Ik heb nu de formule voor alle vlakken bepaald (zie boven) en moet nu dus de vergelijking voor de raakvlakken die door (0,0,5) gaan vinden... Kan je dan gewoon zeggen x*x1+y*y1+z*z1 +5 =r≤ dus x1*x+y1*y+z1*z=4 ?

Dan de punten waar deze het de bol raakt berekenen en aantonen dat deze punten een cirkel vormen...
Ik dacht om vanuit de formules voor de raakvlakken en de bol een formule te maken voor de x en de y waarden van de raakpunten, als het goed is zou dit dan iets in de vorm x≤+y≤=r≤ moeten zijn (en ik vermoed dat r≤ = 9 )
Maar hoe ik hier precies aan moet komen :D

Kan jij me verder helpen?

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 december 2008 - 22:14

Aha, ik had er nooit van gehoord...
in 3D zou je dus bijv. de raakvlak in het punt (x1,y1,z1) aan x≤+y≤+z≤=9 zijn:
x*x1+y*y1+z*z1 = r≤=9

Goed, nu ik dit heb, moet ik nog naar het antwoord op de vraag toe:
Ik heb nu de formule voor alle vlakken bepaald (zie boven) en moet nu dus de vergelijking voor de raakvlakken die door (0,0,5) gaan vinden... Kan je dan gewoon zeggen x*x1+y*y1+z*z1 +5 =r≤ dus x1*x+y1*y+z1*z=4 ?

Dan de punten waar deze het de bol raakt berekenen en aantonen dat deze punten een cirkel vormen...
Ik dacht om vanuit de formules voor de raakvlakken en de bol een formule te maken voor de x en de y waarden van de raakpunten, als het goed is zou dit dan iets in de vorm x≤+y≤=r≤ moeten zijn (en ik vermoed dat r≤ = 9 )
Maar hoe ik hier precies aan moet komen :D

Kan jij me verder helpen?

x*x1+y*y1+z*z1 = r≤=9 en x1≤+y1≤+z1≤=9, het punt moet wel op de cirkel liggen.
verder was je al goed begonnen met je kegelvlak. je moet nu de raakcirkel bepalen. dat kan in het xz-vlak, teken daarin de cirkel van de bol en de raaklijn uit (0,0,5) aan de cirkel, bepaal de straal van de raakcirkel.

Veranderd door Safe, 11 december 2008 - 22:15






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures