Springen naar inhoud

Topologie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

proto-guybaa2

    proto-guybaa2


  • >25 berichten
  • 86 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 december 2008 - 21:21

Hoi ik heb een kort vraagje:

Als V gesloten is en f is een continue functie is f(V) ook gesloten? Het lijkt mij van wel. maar ik weet niet hoe ik dit kan bewijzen. Alle hulp is welkom!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 december 2008 - 22:20

Wat is de definitie van gesloten zijn? Je moet de definitie van continuiteit tezamen met de definitie gesloten gebruiken om dit te bewijzen.
Quitters never win and winners never quit.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 december 2008 - 12:06

Of een tegenvoorbeeld geven als het niet waar is (hint hint...).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

proto-guybaa2

    proto-guybaa2


  • >25 berichten
  • 86 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 december 2008 - 12:19

Een gesloten verzameling is een verzameling die al zijn randpunten bevat. Maar toch zie ik niet hoe ik dit moet bewijzen. ik kan ook de stelling niet weerleggen. Ik zie geen tegenvoorbeeld...

#5

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 december 2008 - 13:20

Let op met de definitie van 'gesloten zijn'. Met de algemeen gebruikte betekenis van gesloten is [a,oneindig) gesloten. In dat geval is het triviaal om een tegenvoorbeeld te geven (exp(-x^2). Als je eist dat de verzameling compact is (gesloten en gebonden), dan is het beeld van de verzameling ook compact. Verschillende bewijzen bestaan, maar een werkelijk elementair bewijs ken ik niet.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 december 2008 - 14:06

Inderdaad, een ander gepast (tegen)voorbeeld is bvb f(x) = 1/(1+x▓) op hetzelfde interval.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 december 2008 - 15:09

Verschillende bewijzen bestaan, maar een werkelijk elementair bewijs ken ik niet.

Wat is jouw definitie van elementair? Als ik het goed heb dan is een 3 epsilon argument hier voldoende maar ik moet er nog 's goed naar kijken.

Veranderd door dirkwb, 12 december 2008 - 15:09

Quitters never win and winners never quit.

#8

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 12 december 2008 - 15:24

Als je eist dat de verzameling compact is (gesloten en gebonden).


Gooi je niet wat begrippen door elkaar?
compact = gesloten en begrensd. (in een eindig dimensionale vectorruimte of in de zwak ster topologie).
Een topologische ruimte is compact als elke eindig gebonden stelsel gesloten verzamelingen gebonden is.

Het bewijs dat het beeld van een compacte verzameling compact is in een metrische ruimte volgt lijkt mij simpel uit de eigenschap dat compact = elke begrensde rij heeft een convergente deelrij.

#9

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 december 2008 - 15:45

Duiding van mijn kant: ik vertaalde (verkeerdelijk) 'bounded' als gebonden, daar waar dat begrensd moet zijn. Dank je voor de correctie.

Wat ik niet begrijp uit Peterpans post: wat is gebonden? Mij zijn slechts 2 karakterisaties van een compacte topologische ruimte gekend (eindige deelbedekkingen en familie gesloten verzamelingen met de 'finite intersection property' heeft niet-ledige doorsnede), en geen van beiden lijkt te corresponderen met wat je opschrijft.

Het bewijs dat het beeld van een compacte verzameling compact is in een metrische ruimte volgt lijkt mij simpel uit de eigenschap dat compact = elke begrensde rij heeft een convergente deelrij.

Dat drong iets later ook tot mij door. Dank voor deze opmerking.

#10

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 12 december 2008 - 16:17

eindige deelbedekkingen en familie gesloten verzamelingen met de 'finite intersection property' heeft niet-ledige doorsnede

Dat is 'm.
Eindig gebonden is als elke eindige set deelverzameling een niet lege doorsnede heeft.
Een stelsel A van deelverzamelingen heet gebonden als de doorsnede niet leeg is, en eindig gebonden als elke eindige set deelverzameling van A een niet lege doorsnede heeft.

#11

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 december 2008 - 16:31

Dank je wel.

Nog in concreto voor TS: zij I gesloten en begrensd. Dan is vanzelfsprekend f(I) begrensd. f(I) is dan gesloten als elke rij LaTeX in f(I) een deelrij heeft die convergeert naar een element in f(I). We weten dat LaTeX een rij is in een gesloten en begrensde verzameling, en dus een convergente deelrij x' (met LaTeX voor een m) heeft: LaTeX , LaTeX . Dan volgt wegens continu´teit LaTeX , LaTeX .

Veranderd door eendavid, 12 december 2008 - 16:32


#12

proto-guybaa2

    proto-guybaa2


  • >25 berichten
  • 86 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 december 2008 - 14:46

bedankt voor jullie hulp. Ik snap het nu. Heb nog een vb gevonden. De functie x^2 die als domein heeft het open interVAL (-1,1) heeft het beeld [0,1). En dit is noch open of gesloten.

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 december 2008 - 15:48

Maar V moest gesloten zijn en dat is (-1,1) niet, tenzij je dit domein niet in :D bekijkt maar in zichzelf...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures