[natuurkunde]eerste hoofdwet open systeem

solar

Een horizontale leiding met een constante diameter van A₁=A₂=0,01m² en een lengte van 100m. Door de leiding stroomt(stationair) een ideaal gas. De specifieke warmte c_v = 0,742 kJ/kgK de specifieke gasconstante is te bepalen adhv. R=R/M (M=28 kg/kmol, R=8,310 kJ/molK)

R=0,297 kJ/molK.

In doorsnede 1 heerst een druk van 0,1MPa(100kPa) het gas stroomt met een snelheid a₁=100 m/s. De temperatuur T₁=300K.

In doorsnede 2 is de druk 0,07MPa(70kPa). Veroorzaakt door wrijving.

Gevraagd: a) De snelheid a₂ en de temperatuur T₂ Voor een adiabatisch proces verloop (Q=0).

b) De snelheid a₂ en de temperatuur T₂, als Q_toe=100kJ/s.

Opstellen van de eerste hoofdwet:

(D=Delta)

₁Q₂= DH+₁W₂+DE_k+DE_p

Mijn constateringen voor a) Er is geen warmte uitwisseling(Q=0), in een horizontale leiding is geen hoogte verschil(DE_p=0) en er wordt geen arbeid geleverd of ontrokken(sub]1[/sub]W₂=0) Zodat de 1^ste HW luidt

-DH=DE_k (Voor een ideaal gas geldt DH=k/(k-1)(p₂V₂-p₁V₁) en de voor de kinetische energie kunnen we schrijven (E_k=1/2m(a₂²-a₁²)) Ingevuld geeft dit

-k/(k-1)(p₂V₂-p₁V₁)=1/2m(a₂²-a₁²)

Klopt dit?

Verder kon ik de massastroom bepalen, want het volume is Axa₁=0,01x100= 1m³/s de ideale gaswet geeft dan

m=p₁V₁/RT₁ = 1,123 kg/s Klopt dit?

Vanaf hier loop ik vast, ik krijg de snelheid in doorsnede twee niet berekend. De antwoorden volgens mijn reader zijn a₂=140,3m/s en de T₂=295K. Kan iemand mijn verder helpen.

Bij voorbaat dank.

Jan van de Velde

Dag solar, welkom op het forum Huiswerk en Practica.

Jij wilt vlot hulp. Dat is alleen goed mogelijk als je daar zelf wat voor doet.

Naast de algemene regels van dit forum hebben we voor dit huiswerkforum een paar speciale regels en tips.

Die vind je in de huiswerkbijsluiter

In die huiswerkbijsluiter staat bijvoorbeeld:

Quote[td] [color="#808080"][b][u]VAKGEBIED-TAGS[/u][/b] [i]Plaats het vakgebied waarop je vraag betrekking heeft tussen rechte haken in de titel. bijv: [biologie] of [frans]. Zo blijft dit huiswerkforum overzichtelijk.[/i] [/color] [/td]

Hebben we even voor je gedaan. Denk je er de volgende keer zélf aan??

oh, enne, je "uitreedsnelheid"

heb ik maar veranderd in "uittreesnelheid".

[/color]

solar

Hallo Jan van de Velde,

Bedankt voor de aanpassingen aan mijn bericht. Ik zal proberen de regels na te leven te nemen.

Gr Solar

Fred F.

(M=28 kg/kmol, R=8,310 kJ/kmolK)

R=0,297 kJ/kg.K

Correcties in rood.

... Zodat de 1^ste HW luidt

-DH=DE_k (Voor een ideaal gas geldt DH=k/(k-1)(p₂V₂-p₁V₁) en de voor de kinetische energie kunnen we schrijven (E_k=1/2m(a₂²-a₁²)) Ingevuld geeft dit

-k/(k-1)(p₂V₂-p₁V₁)=1/2m(a₂²-a₁²)

Klopt dit?

Nee.

Verder kon ik de massastroom bepalen, want het volume is Axa₁=0,01x100= 1m³/s de ideale gaswet geeft dan

m=p₁V₁/RT₁ = 1,123 kg/s Klopt dit?

Ja.

Combineren van de eerste hoofdwet met de wet van Bernoulli geeft:

Q + W + U₁ + m·(0,5·v₁² + p₁/ρ₁ + g·z₁) = U₂ + m·(0,5·v₂² + p₂/ρ₂ + g·z₂)

Q = toegevoerde warmte = 0 kJ/s

W = toegevoerde arbeid = 0 kJ/s

U₁ = interne energie op punt 1, kJ/s = m·C_v·T₁ als men basis: U = 0 bij T = 0 kiest.

U₂ = interne energie op punt 2, kJ/s = m·C_v·T₂

m = massastroom, kg/s

v₁ , v₂= snelheid, m/s

p = druk, kPa

g = versnelling zwaartekracht = 9,81 m/s²

z₁ = z₂ (geen hoogteverschil)

ρ = dichtheid, kg/m³ = p/(R·T)

R = specifieke gasconstante, kJ/kg.K

Dit geeft na wat vereenvoudiging:

C_v·T₁ + R·T₁+ 0,5·v₁² = C_v·T₂ + R·T₂+ 0,5·v₂²

(dit is eventueel ook te schrijven als: H₁ + 0,5·v₁² = H₂ + 0,5·v₂² waarin H = enthalpie, kJ/kg, maar nuttig is dat in dit geval niet)

Verder is v₂ = v₁·(p₁·T₂·A₁)/(p₂·T₁·A₂)

Als je dat ook nog eens invult dan kun je daarna eenvoudig T2 oplossen, en daarna ρ₂ en dus ook v₂ berekenen.

solar

Fred F, bedankt voor de reactie. Ik ga ermee aan de slag.

mvg Solar.

Fred F.

Ik realiseer me nu dat door Q , W , U , Cv en R te definiëren als kJ/.... en p als kPa er een probleem ontstaat want 0,5·v² en g ·z zijn niet in kJ/... maar in J/.....

Dus die twee termen moeten in dit geval door 1000 gedeeld worden. Om alles in kJ/.... te krijgen wordt het dan:

Q + W + U₁ + m·(p₁/ρ₁ + (0,5·v₁² + g·z₁)/1000) = U₂ + m·(p₂/ρ2 + (0,5·v₂² + g·z₂)/1000)

En:

C_v·T₁ + R·T₁+ v₁²/2000 = C_v·T₂ + R·T₂+ v₂²/2000

solar

Met de volgende vergelijkingen ben ik aan de slag gegaan

$C_vT_1 + RT_1+ \frac{v_1^2}{2000} = C_vT_2 + RT_2+\frac{v_2^2}{2000}$

En met

$v_2 = \frac{v_1(p_1T_2A_1)}{(p_2T_1A_2)}$

Ik hou echter nog steeds twee onbekende in een vgl. over nl.

$T_2$

of

$v_2$

. Nou had ik getracht om met

$m=\rho_2 A_1 v_2$

$m$

Massastroom in kg/s

$\rho_2$

De dichtheid in doorsnede 2 per kg/m³

$A_1$

Oppervakte van de doorsnede in m²

$v_2$

De snelheid in doorsnede 2 in m/s.

$v_2$

te bepalen, dit omdat het proces een stationaire stroming heeft. Maar ook daar loopt het bij mijn spaak. Enig idee?

bvd. Solar

solar

Voor een stationair open systeem is de eerste hoofdwet

$ _1Q_2 &= \Delta H + _1W_2 + \Delta E_k + \Delta E_p & \rho_1 A_1 v_1 &= \rho_2 A_2 v_2 & pV &= mRT$

De dichtheid is volgens de eerste hoofdwet

$ \frac{m}{V} &= \frac{p}{RT}$

Aangezien het een leiding is met gelijkblijvende diameter is $A_1=A_2$, verder is er geen warmteuitwisseling dus $Q=0$ de Potentiele energie is niet aanwezig omdat $\Delta z=0$ En er wordt geen mechanische arbeid geleverd dus $_1W_2=0$

Adhv. massabehoud kunnen is $v_2$ als volgt gedefineerd

$ v_2 &= \frac{\rho_1 v_1}{\rho_2} & v_2 &= \frac{\frac{p_1}{RT_1} v_1}{\frac{p_2}{RT_2}}$

De eerste hoofdwet is te vereenvoudigen

$ 0 &= \Delta H + \Delta E_k\ \ \text{met }& \Delta H &= c_p(T_2-T_1) &\text{en } E_k &= \frac{1}{2}(v_2^2-v_1^2)\\ 0 &= c_p(T_2-T_1) + \frac{1}{2}(v_2^2-v_1^2)$

Invullen van de eerste hoofdwet levert op

$ 0 &= c_pT_2-c_pT_1 + \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{p_1}{RT_1} v_1}{\frac{p_2}{RT_2}}\right] ^2-\frac{v_1^2}{2}\\ 0 &= c_pT_2-c_pT_1 + \frac{1}{2}\left[ v_1\frac{p_1T_2}{2T_1p_2}\right] ^2-\frac{v_1^2}{2}$

Vervolgens is de tweedegraadsvergelijk op te lossen met

$ a &= \frac{1}{2}\left[ v_1\frac{p_1}{2T_1p_2}\right] ^2 & b &= -c_p & c &= c_pT_1-\frac{v_1^2}{2}\\ & & aT_2^2+bT_2+c &= 0$

Een horizontale leiding met een constante diameter van A1=A2=0,01m2 en een lengte van 100m. Door de leiding stroomt(stationair) een ideaal gas. De specifieke warmte cv = 0,742 kJ/kgK de specifieke gasconstante is te bepalen adhv. R=R/M (M=28 kg/kmol, R=8,310 kJ/kmolK) R=0,297 kJ/kgK.

In doorsnede 1 heerst een druk van 0,1MPa(100kPa) het gas stroomt met een snelheid a1=100 m/s. De temperatuur T1=300K.

In doorsnede 2 is de druk 0,07MPa(70kPa). Veroorzaakt door wrijving.

$ a &=\frac{1}{2} \left[\frac{v_1 p_1}{T_1p_2}\right] ^2 & a &= \frac{1}{2} \left[ \frac{100 \times 100}{ 300 \times 70}\right] ^2 & a &= 0,11 \\ b &= -c_p & b &= -(R+c_v)\\ b &= -(0,297 + 0,742) & b &= 1,039k \\ c &= -c_pT_1-\frac{v_1^2}{2} & c &= 1,039k \times 300 - \frac{100^2}{2} = -316,7k$

$T_2$

is 295K. na invullen van

$aT_2^2+bT_2+c =0 $

$v_2$

is dan uit te rekenen met

$ v_2 &= 100 \times \frac{\frac{100}{0,297 \times 300}}{\frac{70}{0,297 \times 295}} & v_2 &= 140,3 m/s$

Nu wordt er aan de leiding 100 kJ/s toegevoerd dus

$_1Q_2 &= c_pT_2-c_pT_1 + \frac{1}{2}\left[ v_1\frac{p_1T_2}{2T_1p_2}\right] ^2-\frac{v_1^2}{2}$

De tweedegraads vergelijk blijf gelden enkel vind er nu wel warmteuitwisseling plaats. Omdat er gerekend word met de hoofdwet in specifieke vorm (per kg) word

$_1q_2$

$ V_1 &= A_1 v_1 & V_1 &= 100 \times 0,01 = 1 m^3/s \\ _1q_2 &= \frac{_1Q_2}{\frac{p_1 V_1}{R T_1}} & _1q_2 &= \frac{100k}{\frac{100 \times 1}{0,297 \times 300}}\\ _1q_2 &= 89 kJ/s$

Term c word dan

$ c &= -_1q_2-c_pT_1-\frac{v_1^2}{2} & c &= -89-\frac{100^2}{2} & c &= -405,747k\\ aT_2^2+bT_2+c &= 0 & T_2 &= 375,5K$

Fred F.

solar schreef:Met de volgende vergelijkingen ben ik aan de slag gegaan

$C_vT_1 + RT_1+ \frac{v_1^2}{2000} = C_vT_2 + RT_2+\frac{v_2^2}{2000}$
En met

$v_2 = \frac{v_1(p_1T_2A_1)}{(p_2T_1A_2)}$
Ik hou echter nog steeds twee onbekende in een vgl. over nl.
$T_2$
of
$v_2$
.

Zoals ik al eerder zei: je moet die tweede vergelijking voor

$v_2$

invullen in de eerste vergelijking.

Dat geeft dan:

$C_vT_1 + RT_1+ \frac{v_1^2}{2000} = C_vT_2 + RT_2 + \frac{T_2^2}{2000}(\frac{v_1p_1A_1}{p_2T_1A_2})^2$

waarin

$T_2$

de enige variabele is, dus simpel op te lossen.

En daarna

$v_2$

eenvoudig oplossen uit:

$v_2 = \frac{v_1(p_1T_2A_1)}{(p_2T_1A_2)}$

Het tweede probleem waarin Q = 100 kJ/s wordt toegevoegd wordt dan:

$\frac{Q}{m} + C_vT_1 + RT_1+ \frac{v_1^2}{2000} = C_vT_2 + RT_2 + \frac{T_2^2}{2000}(\frac{v_1p_1A_1}{p_2T_1A_2})^2$

Wederom is

$T_2$

hierin de enige variabele, dus simpel op te lossen.

Iets eleganter en veel minder omslachtig dan jouw methode.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[natuurkunde]eerste hoofdwet open systeem

[natuurkunde]eerste hoofdwet open systeem

Re: [natuurkunde]eerste hoofdwet open systeem

Re: [natuurkunde]eerste hoofdwet open systeem

Re: [natuurkunde]eerste hoofdwet open systeem

Re: [natuurkunde]eerste hoofdwet open systeem

Re: [natuurkunde]eerste hoofdwet open systeem

Re: [natuurkunde]eerste hoofdwet open systeem

Re: [natuurkunde]eerste hoofdwet open systeem

Re: [natuurkunde]eerste hoofdwet open systeem