[wiskunde] eigenvector bepalen

NvdB

Hoi mensen,

Ik had een vraag met betrekking tot het bepalen van een eigenvector van een (niet symmetrische) matrix. Het probleem is als volgt:

\(\left[\begin{array}{cc}3,7866116 & -2\\-2& 1.893306\end{array}\right]\)

Deze matrix (2x2) moet vermenigvuldigt worden met een eigenvector en daar moet dan nul uitkomen.. Maar de vraag is nu hoe ik die eigenvector bepaal... Ik zit echt al heel erg lang met die probleem en het zou fijn zijn als iemand me even kon helpen...

w1, m en k zijn bekenden...

Phys

Wat moet dat voorstellen? Ik zou zeggen, geef de matrix, en/of je karakteristieke vergelijking; uit deze letters kan ik geen wijs uit worden.

\\edit: je hebt je bericht aangepast. Nog steeds zie ik niet hoe je matrix eruit ziet.

In Latex kan het heel duidelijk:

\(\left[\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right]\)

Code: Selecteer alles

[tex]\left[\begin{array}{cc}a & b\\c& d\end{array}\right][/tex]

NvdB

sorry ik was nog aan het proberen om hem goed te posten, zal ik dan gewoon de matrix met de getallen geven?

Phys

Ja, ik zou zeggen, schrijf het zo op (met a,b,c,d, zoals hierboven):

a=

b=

c=

d=

(of neem mijn code over en typ het in Latex)

NvdB

a = 3,787

b = -2

c = -2

d = 1,893

Phys

Maar nu zijn de w,k en m verdwenen?

NvdB

klopt, dat zijn bekenden, die heb ik ff uitgerekend, anders is het:

a = -(w^2)*2*m + 2*k

b= -k

c=-k

d= -(w^2)*m + k

Phys

Ok, nu breng je me wel in verwarring. Je moet de eigenwaarden/-vectoren van een matrix bepalen. Is dat van de matrix

\(\left[\begin{array}{cc}3,7866116 & -2\\-2& 1.893306\end{array}\right]\)

of van de matrix

\(\left[\begin{array}{cc}-2mw^2 + 2k & -k\\-k & -mw^2+ k \end{array}\right]\)

Om de eigenwaarden te bepalen, stel je de karakteristieke vergelijking van de matrix

\(A-\lambda I\)

op.

In het geval van de matrix

\(A=\left[\begin{array}{cc}a & b\\c&d\end{array}\right]\)

, dus

\(A-\lambda I=\left[\begin{array}{cc}a-\lambda & b\\c&d-\lambda\end{array}\right]\)

, los je op

\((a-\lambda)(d-\lambda)-bc=0\)

NvdB

Ik wil proberen om de eigenvectoren te berekenen van de matrix met de w,m,k er nog in (zonder getallen)

Phys

Oké, dan voer bovenstaande procedure eens uit met a,b,c,d vervangen door jouw uitdrukkingen. Je zult namelijk eerst de eigenwaarden moeten bepalen om de eigenvectoren te bepalen (heb je dit al ooit gedaan?).

NvdB

ja ik weet hoe dit werkt.. maar in dit probleem zijn de w's de eigenwaarden (eigenfequencies).. Die heb ik gewoon bepaald door de determinant nul te zetten zoals jij doet..

Nu kreeg ik twee verschillende waarden voor w: w1 en w2.. Nu moet ik dus nog de eigenvectoren bepalen voor die w1 en w2. Wat ik dus dacht, substitueer w1 terug in deze matrix en los hem op:

\(\left[\begin{array}{cc}-2mw^2 + 2k & -k\\-k & -mw^2+ k \end{array}\right] * eigenvector = 0\)

Phys

Dit onderwerp past beter in het huiswerkforum en is daarom verplaatst.

ja ik weet hoe dit werkt.. maar in dit probleem zijn de w's de eigenwaarden (eigenfequencies).. Die heb ik gewoon bepaald door de determinant nul te zetten zoals jij doet..

Ieder bericht geef je nieuwe informatie. Dat is erg vermoeiend, want ik weet nu nog steeds niet wat de oorspronkelijke opgave is. Nu blijken w ineens de eigenwaarden te zijn.

Ik vraag nog éen keer om de oorspronkelijke matrix waarvan de eigenwaarden/-vectoren bepaald moeten worden, dus niet de matrix met de door jouw berekende eigenwaarden ingevuld. Anders geef ik het op.

Klintersaas

NvdB schreef:Ik had een vraag met betrekking tot het bepalen van een eigenvector van een (niet symmetrische) matrix. Het probleem is als volgt:

\(\left[\begin{array}{cc}3,7866116 & -2\\-2& 1.893306\end{array}\right]\)

Je weet hopelijk dat

\(\overrightarrow{v}\)

een eigenvector en

\(\lambda\)

een eigenwaarde zijn van een matrix A als

\(\forall\ \overrightarrow{v} \in\ V\)

en

\(\forall\ \lambda \in\ \rr_0\)

geldt dat

\(A\cdot v = \lambda \cdot v\)

.

Nu werken we die vergelijking een beetje om:

\(A\cdot v = \lambda \cdot v \Leftrightarrow A\cdot v - \lambda \cdot v = 0 \Leftrightarrow (A-\lambda \cdot I) \cdot v = 0 \Leftrightarrow \det(A-\lambda \cdot I) = 0\)

Dit is de zgn. karakteristieke vergelijking. Toegepast op deze opgave:

\(\left[\begin{array}{cc}3,7866116 & -2\\-2& 1.893306\end{array}\right] - \lambda \cdot I = \left[\begin{array}{cc}3,7866116 & -2\\-2& 1.893306\end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc}\lambda & 0\\0 & \lambda\end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc}3,7866116 - \lambda & -2\\-2& 1.893306- \lambda \end{array}\right]\)

De op te lossen vergelijking is dus:

\(\det\left(\begin{array}{cc}3,7866116 - \lambda & -2\\-2& 1.893306- \lambda \end{array}\right) = 0 \Leftrightarrow (3,7866116 - \lambda)(1.893306- \lambda) - 4 = 0\)

Deze vergelijking levert twee eigenwaarden,

\(\lambda_1\)

en

\(\lambda_2\)

. Voor elke eigenwaarde berekenen we de eigenvectoren. Voor de eerste eigenwaarde:

\(\left(\left[\begin{array}{cc}3,7866116 & -2\\-2& 1.893306\end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc}\lambda_1 & 0\\0 & \lambda_1 \end{array}\right]\right) \cdot \left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right]\)

Los het stelsel vergelijkingen dat hieruit komt op naar x en y.

Voor de tweede eigenwaarde doe je hetzelfde:

\(\left(\left[\begin{array}{cc}3,7866116 & -2\\-2& 1.893306\end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc}\lambda_2 & 0\\0 & \lambda_2 \end{array}\right]\right) \cdot \left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right]\)

EDIT: Blijkbaar loop ik een heel eind achter.

NvdB

Oke sorry voor de onduidelijkheid. Het probleem:

De bewegingsvergelijking voor dit probleem wordt als volgt gegeven:

[mass-matrix]*[acceleration-vector] + [stiffness-matrix]*[displacement] = 0 , nu mogen we aannemen dat de displacement harmonisch zijn ofwel:

displacement u = phi*e^i*omega*t

acceleration u_dot_dot = -omega^2 * phi * e^i*omega*t

Wanneer deze twee dingen terug worden gesubstitueerd in de bewegingsvergelijking krijgen we:

(-omega^2 * M + K) * phi*e^i*omega*t = 0 met M en K de mass en stiffness matrix

om nu dus de eigenfrequencies te bepalen van dit probleem ( de omega's ) zeggen we dat voor een niet-triviale oplossing moet gelden:

det(-omega^2 * M + K) = 0

met M =

\(\left[\begin{array}{cc}1/2 & 0\\0 & 1/4 \end{array}\right]\)

en K =

\(\left[\begin{array}{cc}4 & -2\\-2 & 2 \end{array}\right]\)

dit dus oplossende voor omega geeft dus de twee eigenfrequencies (eigenwaarden):

omega_1 = 0.6532815

omega_2 = 0.2705981 (kun je narekenen als je wilt)

Dit was dus de berekening van de eigenfrequencies, nu is de vraag dus, wat zijn de eigenvectoren die bij deze bewegingsvergelijking horen?

TD

Je weet hopelijk dat
\(\overrightarrow{v}\)
een eigenvector en
\(\lambda\)
een eigenwaarde zijn van een matrix A als
\(\forall\ \overrightarrow{v} \in\ V\)
en
\(\forall\ \lambda \in\ \rr_0\)
geldt dat
\(A\cdot v = \lambda \cdot v\)
.

Dit lijkt me wel wat vreemd: een zekere vector v en reëel getal λ moeten voldoen aan Av=λv, dit moet toch niet voor alle v en λ? Ik snap ook niet waarom je 0 uitsluit...

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] eigenvector bepalen

[wiskunde] eigenvector bepalen

Re: [wiskunde] eigenvector bepalen

Re: [wiskunde] eigenvector bepalen

Re: [wiskunde] eigenvector bepalen

Re: [wiskunde] eigenvector bepalen

Re: [wiskunde] eigenvector bepalen

Re: [wiskunde] eigenvector bepalen

Re: [wiskunde] eigenvector bepalen

Re: [wiskunde] eigenvector bepalen

Re: [wiskunde] eigenvector bepalen

Re: [wiskunde] eigenvector bepalen

Re: [wiskunde] eigenvector bepalen

Re: [wiskunde] eigenvector bepalen

Re: [wiskunde] eigenvector bepalen

Re: [wiskunde] eigenvector bepalen