Bewijs: supremumnorm

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 150

Bewijs: supremumnorm

Hoe gaat het bewijs van de supremum norm, oftewel:

Voor alle
\( x\in R^{k} ; \lim_{p \rightarrow \infty} \left[\displaystyle{\sum_{i=1}^{k}}|x_{i}|^{p}\right]^{\frac{1}{p}} = \textrm{ max} \{ |x_{i}| ; i=1,...,k \} (= ||x||_{\infty}) \)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs: supremumnorm

Haal de xmax uit de som:
\(\mathop {\lim }\limits_{p \to \infty } \left( {\sum\limits_{i = 1}^k {\left| {x_i } \right|^p } } \right)^{\frac{1}{p}} = \mathop {\lim }\limits_{p \to \infty } \left( {\left| {x_{\max } } \right|^p \sum\limits_{i = 1}^k {\left| {\frac{{x_i }}{{x_{\max } }}} \right|^p } } \right)^{\frac{1}{p}} \)
Misschien zie je het nu zelf...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 150

Re: Bewijs: supremumnorm

Daarmee kom ik op het volgende:
\(\mathop {\lim }\limits_{p \to \infty } \left( {\left| {x_{\max } } \right|^p \sum\limits_{i = 1}^k {\left| {\frac{{x_i }}{{x_{\max } }}} \right|^p } } \right)^{\frac{1}{p}} = |x_{max}| \displaystyle{\lim_{p \rightarrow \infty} \left( \sum_{i=1}^{k-1}|a_{i}|^{p} + 1} \right)^{\frac{1}{p}} \)


Waar
\( a_{i}<1 \)
voor alle i = 1,...,k-1
\(= |x_{max}|(0 + 1) = |x_{max}| \)
edit: Heb notatie ondertussen aangepast.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs: supremumnorm

Los van eventuele details in de notatie (xmax was bijvoorbeeld niet per se de ke term, maar je kan uiteraard hernummeren...) was dat inderdaad de bedoeling: buiten xmax/xmax=1 krijg je allemaal termen die kleiner zijn dan 1 en dan neem je de limiet...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 150

Re: Bewijs: supremumnorm

Bedankt voor de hint en de reactie!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs: supremumnorm

Graag gedaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 150

Re: Bewijs: supremumnorm

Bewijs ik dan het volgende correct:

Te bewijzen :
\( \displaystyle{\lim_{p \rightarrow \infty} \left( \sum_{i=1}^{k-1}|a_{i}|^{p} + 1 \right)^{\frac{1}{p}}} = 1 \)


Bewijs :
\( 1 \leq \displaystyle{ \left( \sum_{i=1}^{k-1}|a_{i}|^{p} + 1 \right)} \right) \leq \displaystyle{ \sum_{i=1}^{k-1}|a_{i}| + 1 = 1 + \epsilon \)
Voor
\(p \geq 1\)
, met
\( \epsilon \geq 0 \)
.

Dus
\( \displaystyle{\lim_{p \rightarrow \infty} 1^{\frac{1}{p}}} \leq \displaystyle{\lim_{p \rightarrow \infty}}\displaystyle{ \left( \sum_{i=1}^{k-1}|a_{i}|^{p} + 1 \right)} \right)^{\frac{1}{p}} \leq \displaystyle{\lim_{p \rightarrow \infty}}(1 + \epsilon)^{\frac{1}{p}} \)
Daarom geldt :
\( 1 \leq \displaystyle{\lim_{p \rightarrow \infty} \left( \sum_{i=1}^{k-1}|a_{i}|^{p} + 1 \right)^{\frac{1}{p}}} \leq 1 \Rightarrow \displaystyle{\lim_{p \rightarrow \infty} \left( \sum_{i=1}^{k-1}|a_{i}|^{p} + 1 \right)^{\frac{1}{p}}} = 1\)

Berichten: 150

Re: Bewijs: supremumnorm

Gegeven uiteraard dat :
\( |a_{i}| \leq 1 \)
voor alle i = 1,...,k-1

Reageer