Differentiaalvergelijking

dirkwb

Ik zit vast bij de volgende DV:

\( \frac{dr}{dt}= \frac{r}{2} \left( 1- \frac{r^2}{4} \right) \)

Hoe pak je zoiets aan?

Volgens mijn docent moet eruit komen:

\(r(t)= \sqrt{ \frac{4 r(0)^2 e^t}{ 4-r(0)^2 + r(0)^2 e^t} }\)

jhnbk

dat kan toch gewoon met scheiden van de variable?

\(t=2 (\ln r -\frac12 \ln (r^2-4))+C\)

jhnbk

Tipje om achteraf een oplossing te bepalen: schrijf de logaritmen als één logaritme.

dirkwb

dat kan toch gewoon met scheiden van de variable?

Inderdaad en ik was lui...

\(\frac{1}{2} \frac{dr^2}{dt} = r^2 \left( 1- \frac{r^2}{4} \right) \)

Noem nu r^2 = r dan volgt

\( \frac{1}{r(4-r)} \frac{dr}{dt} = \frac{1}{4} \rightarrow \left( \frac{1}{r}+ \frac{1}{4-r} \right) \frac{dr}{dt} =1 \)

ofwel

\( \ln \left( \frac{r}{4-r} \right) = t \rightarrow \frac{r}{4-r} = ce^t \rightarrow r = \frac{4ce^t}{ce^t+1} \)

Er is dus iets fout in mijn berekening, maar ik zie niet wat (op het insneaken van de beginvoorwaarde na dan).

jhnbk

Je moet nog terug omwerken dat

\(r=\sqrt{r}\)

. (Kies beter een andere variabele dan twee maal r)

EDIT: dan nog is er iets niet juist denk ik.

dirkwb

Je moet nog terug omwerken dat
\(r=\sqrt{r}\)
. (Kies beter een andere variabele dan twee maal r)

Dat snap ik, maar ik stopte omdat er iets mis is

(die tweemaal r is een keuze van mijn docent).

EDIT: dan nog is er iets niet juist denk ik.

Juist hier gaat het dus om.

Phys

Geen substitutie nodig. Met scheiden krijgen we

\(\int_{r_0}^r\frac{dr'}{4r'-r'^3}=\int_0^t\frac{t'}{8}dt'\)

. Breuksplitsen geeft

\(\frac{1}{4r-r^3}=\frac{1}{8}\left(\frac{2}{r}+\frac{1}{2-r}-\frac{1}{2+r}\right)\)

. De 1/8 vallen tegen elkaar weg, dus

\(t=\left.2\log r'-\log(2-r')-\log(2+r')\right|^{r}_{r_0}=\left.\log\left(\frac{r'^2}{4-r'^2}\right)\right|^{r}_{r_0}\)

\(t=\log\left(\frac{r^2}{4-r^2}\cdot\frac{4-r_0^2}{r_0^2}\right)\)

\(\frac{r^2}{4-r^2}=\frac{r_0^2}{4-r_0^2}\cdot e^t\)

enige algebra geeft

\(r(t)^2=4-\frac{4}{\frac{r_0^2}{4-r_0^2}e^t+1}=4-\frac{4(4-r_0^2)}{r_0^2e^t+4-r_0^2}=\frac{4r_0^2e^t}{r_0^2e^t+4-r_0^2}\)

Worteltrekken geeft het gevraagde.

dirkwb

Het is mij nu duidelijk waarom mijn docent deze reeks aan trucjes liet zien: deze vereenvoudigen de berekeningen met de helft in dit geval.

Wetenschapsforum