[wiskunde]vraagje over reeksen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 16-12-'08, 14:45

Compa

Berichten: 63

[wiskunde]vraagje over reeksen

Beste,

Gegeven: " De reeks
\( \sum_{n=0}^{\infty} a_n \)
is convergent, en
\( 0 \)
<
\(a_n \)
<
\( 1 \)
voor alle
\( n \)
. Is de reeks
\( \sum_{n=0}^{\infty} \frac {a_n}{1-a_n} \)
convergent, divergent of hebben we niet voldoende informatie om dit te bepalen?"

Ik kom er niet uit, kan iemand mij verder op weg helpen?

Bedankt!
Omhoog

Bericht 16-12-'08, 16:26

ametim

Berichten: 150

Re: [wiskunde]vraagje over reeksen

Noem
\( b_n = \frac{a_n}{1 - a_n} \)
en
\( \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = x \)
Een vereiste voor convergentie is dan dat :
\( \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = 0\)
Oftewel:
\( \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{1 - a_n} = \frac{x}{1-x} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \)


Ben overigens niet geheel zeker over deze methode. Hopelijk is dit in ieder geval een stap in de goede richting.
Omhoog

Bericht 16-12-'08, 16:46

Klintersaas

Berichten: 8.614

Re: [wiskunde]vraagje over reeksen

Bedenk dat de stelling slechts in één richting geldt: als een reeks
\(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\)
convergeert, dan is
\(\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = 0\)
. Het omgekeerde geldt niet. De harmonische reeks
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)
is bijvoorbeeld divergent, terwijl
\(\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} = 0\)
.

De contrapositie van deze stelling is misschien wel bruikbaar: als
\(\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n\ \mbox{niet bestaat of} \neq 0\)
, dan is
\(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\)
divergent.

Verborgen inhoud
(verwijderd omwille van fout)
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Omhoog

Bericht 16-12-'08, 16:56

Klintersaas

Berichten: 8.614

Re: [wiskunde]vraagje over reeksen

EDIT:

Verborgen inhoud
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{1 - a_n} = \frac{\lim_{n \to +\infty} a_n}{\lim_{n \to +\infty} 1 - a_n}\)
en aangezien
\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\)
convergeert, is
\( \lim_{n \to +\infty} a_n = 0\)
. De bovenstaande limiet wordt dan
\(\frac01 = 0\)
, wat niets zegt over convergentie of divergentie.


In dit geval is de (contrapositie van de) stelling uit mijn vorige post onbruikbaar. Een ander convergentiekenmerk dus:

Ken je de volgende stelling:

Als voor de reeksen
\(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\)
en
\(\sum_{n=1}^{\infty} v_n\)
met uitsluitend positieve termen geldt dat
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} \in \rr_0^+\)
, dan hebben deze twee reeksen hetzelfde convergentiegedrag.[/i]

Verborgen inhoud
Als we deze stelling gebruiken met de gegeven reeksen wordt dat:
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{\frac{a_n}{1 - a_n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n(1 - a_n)}{a_n} = \lim_{n \to +\infty} 1 - a_n = 1\)
en dat is een strikt positief reëel getal.
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Omhoog

Bericht 16-12-'08, 17:00

ametim

Berichten: 150

Re: [wiskunde]vraagje over reeksen

Stel
\( a_n = \frac{1}{2n} \)
convergeert, dan is
\(\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = 0\)
. Het omgekeerde geldt niet.[/quote]

Het was ook een vereiste.
Omhoog

Bericht 16-12-'08, 17:09

Klintersaas

Berichten: 8.614

Re: [wiskunde]vraagje over reeksen

Inderdaad, ik zei toch nergens dat jij het verkeerd had.
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Omhoog

Bericht 16-12-'08, 17:11

ametim

Berichten: 150

Re: [wiskunde]vraagje over reeksen

\(\rr_0^+\)


Bedoel je daarmee :
\(x \geq 0 \)
Omhoog

Bericht 16-12-'08, 17:14

Klintersaas

Berichten: 8.614

Re: [wiskunde]vraagje over reeksen

Neen,
\(x > 0\)
. Het is een typisch Belgische notatie. Iets internationaler:
\(\rr^+\ \backslash \{0\}\)
.
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Omhoog

Bericht 16-12-'08, 17:14

ametim

Berichten: 150

Re: [wiskunde]vraagje over reeksen

Neen,
\(x > 0\)
. Het is een typisch Belgische notatie. Iets internationaler:
\(\rr^+\ \backslash \{0\}\)
.


Die komt me inderdaad bekender over :D
Omhoog

Bericht 16-12-'08, 17:27

ametim

Berichten: 150

Re: [wiskunde]vraagje over reeksen

Als voor de reeksen
\(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\)
en
\(\sum_{n=1}^{\infty} v_n\)
met uitsluitend positieve termen geldt dat
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} \in \rr_0^+\)
, dan hebben deze twee reeksen hetzelfde convergentiegedrag.[/i]


Stel we nemen hier
\( a_n = \frac{1}{n} \)
en
\( b_n = \frac{1}{n^2} \)
Dan hebben
\( \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}a_n\)
en
\( \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}b_n\)
beiden strict positieve termen en
\( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} n = \infty \in \rr^+\{0\} \)


Maar
\(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}a_n\)
convergeert niet, terwijl
\( \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}b_n\)
wel convergeert, of zit ik er nu naast?
Omhoog

Bericht 16-12-'08, 17:47

ametim

Berichten: 150

Re: [wiskunde]vraagje over reeksen

\( \rr^+\{0\} \)
Moet natuurlijk zijn :
\( \rr^+ \backslash \{0\} \)
Omhoog

Bericht 16-12-'08, 17:51

Klintersaas

Berichten: 8.614

Re: [wiskunde]vraagje over reeksen

\( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} n = \infty \in \rr^+\{0\} \)
Dit klopt niet.
\(+\infty\)
en
\(-\infty\)
behoren niet tot
\(\rr\)
(maar wel tot
\(\overline{\rr}\)
).
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Omhoog

Bericht 16-12-'08, 18:13

ametim

Berichten: 150

Re: [wiskunde]vraagje over reeksen

Met
\(\overline{\rr}\)
bedoel je de gesloten verzameling neem ik aan?
Omhoog

Bericht 16-12-'08, 18:27

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde]vraagje over reeksen

Wat bedoel je met "de gesloten verzameling"?
\(\overline{\rr}=\rr\cup\{-\infty,\infty\}\)
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 16-12-'08, 18:50

ametim

Berichten: 150

Re: [wiskunde]vraagje over reeksen

Wist niet dat
\( -\infty, \infty \)
niet in
\( \rr \)
zaten. Meestal gebruiken wij de "overline" om gesloten verzameling aan te geven.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”