Wetenschapsforum

Ik had een programmaatje geprogrameerd die uitrekent welke getallen je kunt delen door een bepaald getal. mede omdat ik wat priemgetalleen wilde vinden. mijn programma berekent alle getallen, inclusief het getal zelf en exclusief 1.

ik vulde toen een keer 6!. ik weet ook niet waarom. dat deed ik gewoon! en alle getallen die hij dan berekent stopt hij in een lijst. wat blijkt?

de som van alle getallen die je door N! kan delen is een priemgetal!

bijv:

6! kun je delen door

2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 12 + 15 + 16 + 18 + 20 + 24 + 30 + 36 + 40 + 45 + 60 + 72 + 80 + 90 + 120 + 144 + 180 + 240 + 360 + 720 = 2417

2417 is een priemgetal

5! kun je delen door

2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 +24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 359

359 is een priemgetal

4! kun je delen door

2+ 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 59

59 is een priemgetal

iemand enig idee waarom?

of is het gewoon toeval?

Toeval, bij 7! en 9! werkt het bijvoorbeeld niet.

Dit lijkt een beetje op de stelling van Wilson: Wikipedia

Ik heb thuis gekeken of er misschien een patroon zit in de x!-en waarvoor geld dat de som van de delers van dat getal exclusief 1, een priemgetal oplevert. En ja! voor elke even x (die ik tot nu toe heb getest) krijg je een priemgetal.

Het enige is dat ik maar tot 14! kwam, het neemt namelijk erg snel toe, om alle delers van 16! te berekenen en op te tellen moet ik mijn computer iets van twee weken aan laten staan

Maar het geld in ieder geval voor 2!, 4!, 6!, 8!, 10!, 12! en 14!

Ik probeerder er ook nog een formulevorm van te maken, maar dat is erg lastig... Ik heb nu een soort algoritme-achtige formule die priemgetallen opleverd.

Maar het is niet echt een formule te noemen

\(\sum_{k=2}^{\ (2n)! \div 2}(\lfloor \frac{\lfloor (2n)! \div k \rfloor}{(2n)! \div k} \rfloor * k ) + (2n)!\)

De

\(\lfloor\)

\(\rfloor \)

tekentjes betekenen 'omlaag afgerond', dus

\(\lfloor 1,99 \rfloor \)

= 1

Dus het stukje

\((\lfloor \frac{\lfloor (2n)! \div k \rfloor}{(2n)! \div k} \rfloor * k )\)

zorgt ervoor dat als

\((2n) \div k\)

een geheel getal is,

\((2n) \div k\)

gelijk is aan

\(\lfloor(2n) \div k\rfloor\)

en er dus daardoor

\(1 * k\)

komt te staan, wat dus gelijk is aan

\(k\)

, en zo tel je de delers op.

En als

\((2n) \div k\)

geen geheel getal is, is

\(\lfloor(2n) \div k\rfloor\)

kleiner dan

\((2n) \div k\)

, en daarmee is

\( \frac{\lfloor (2n)! \div k \rfloor}{(2n)! \div k} \)

altijd kleiner dan 1,

waarmee

\(\lfloor \frac{\lfloor (2n)! \div k \rfloor}{(2n)! \div k} \rfloor \)

dus 0 wordt. En

\(0 * k\)

is 0, en zo tel je de niet-delers niet op bij het geheel.

Tot slot doe je nog

\(+ (2n)!\)

omdat dat ook een deler is. En het limiet is

\((2n)! \div 2\)

omdat de delers nooit groter kunnen zijn dan de helft van het getal.

Dit is niet echt een (elegante) formule te noemen, maar hij levert wel priemgetallen op voor elke n die je erin stopt.

Tenminste, voor n = 1 t/m 7 weet ik het zeker, maar de kans is volgensmij groot dat dit voor elke n klopt.

Maarja, het mooist zou natuurlijk zijn dat je een formule gebruikt die direct de delers berekent, maar zo'n formule bestaat denkik niet. Want als je de delers van een getal kan berekenen met een formule, kan je ook de niet-delers berekenen, en zo zou je dan volgensmij ook priemgetallen kunnen maken.

Het vermoeden van PeterPan:

De som van de delers (exclusief 1) van

\((2n)!\)

is niet priem voor alle

\(n>7\)

.

Dit doet me denken aan

Het vermoeden van Fermat:

Alle Fermat getallen zijn priem.

Het vermoeden is nu:

Alle Fermat getallen groter dan 4 zijn niet priem.

Het kan nog erger,

Het vermoeden van Euler:

Er bestaan geen MOLSparen van orde

\(2(2n+1)\)

.

Het huidige vermoeden:

Er bestaan MOLSparen van orde

\(2(2n+1)\)

voor elke

\(n\)

.

En nog hilarischer is de verfijnig van voorgaande vermoeden geheten het vermoeden van MacNeish.

Het MacNeish vermoeden is vermoedelijk onjuist voor alle

\(n\)

.

PeterPan schreef:Het vermoeden van PeterPan:

De som van de delers (exclusief 1) van
\((2n)!\)
is niet priem voor alle
\(n>7\)
.

Waarom vanaf 7 ineens niet meer?

PeterPan schreef:Het vermoeden van PeterPan:

De som van de delers (exclusief 1) van
\((2n)!\)
is niet priem voor alle
\(n>7\)
.

Dit lijkt mij gewoon te bewijzen.

\((2n)!=a^i b^j c^k d^{...}\)

a zal 2 zijn als

\(a<b<c<\ldots\)

elke deler waarbij de macht van a niet 0 is dan al niet van belang aangezien deze deelbaar is door 2 en dus geen priemgetal kan zijn. Er blijven dus de andere delers over

je weet dat b,c,... oneven zijn. Een oneven getal x oneven getal is een oneven getal wegens

\((2x+1)(2y+1)=4xy+2y+2x+1 \)

dus volstaat het om te bewijzen dat de som van de andere delers (voor i=0) een even getal is, m.a.w. het aantal resterende delers is even

resterende delers

\(= (j+1) \times (k+1) \times \cdots\)

dit is een even getal indien er dus minstens een factor even is. Het priemgetal dichtste bij 2n zal maar 1 keer voorkomen !!

Is dit bewezen of zitten er ergens graten in?

Ik hoop het:P

Voor 16! krijg je 5375 termen

Waar klopt mijn bewering dan niet?

Voor 16! krijg je 5375 termen

Hoe kom jij daar trouwens op?

Code: Selecteer alles

octave-3.1.50.exe:3> factor(20922789888000)

ans =

 Columns 1 through 15:

2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2

 Columns 16 through 28:

3	3	3	3	3	3	5	5	5	7	7   11   13

octave-3.1.50.exe:4> (6+1)*(3+1)*(2+1)*(1+1)^2

ans =  336

16! heeft 336 oneven delers.

Voor 16! krijg ik het getal

107004539285279.

En dat is NIET priem.

Maar ik laat toch zien dat mijn bewijsvoering numeriek ook juist is? Of vergis ik mij hier volledig?

Ik weet niet precies wat je doet, maar probeer het eens voor een klein voorbeeld. Mogelijk zie je dan wat je niet goed doet.

Verduidelijking

\((2n)!=a^i b^j c^k d^{...}\)

Splitsing in priemfactoren van (2n)!

a zal 2 zijn als

\(a<b<c<\ldots\)

Som van de delers is niet priem als elke term van de som even is. Elke combinatie van priemfactoren met a is dus even. Nu nog de combinaties zonder a: elke term hiervan is oneven (zie boven). Indien we nu een even aantal termen hebben is dat probleem opgelost aangezien de som dan even is. Ik toonde boven aan dat het aantal zulke combinaties even is aangezien de priemfactor dichtste bij 2n maar één maal zal voorkomen en dus (j+1)(k+1)...(laatste+1) een even getal is.

Wetenschapsforum

Priemgetallen en !

Priemgetallen en !

Re: Priemgetallen en !

Re: Priemgetallen en !

Re: Priemgetallen en !

Re: Priemgetallen en !

Re: Priemgetallen en !

Re: Priemgetallen en !

Re: Priemgetallen en !

Re: Priemgetallen en !

Re: Priemgetallen en !

Re: Priemgetallen en !

Re: Priemgetallen en !

Re: Priemgetallen en !

Re: Priemgetallen en !

Re: Priemgetallen en !