[wiskunde] analyse:continuïteit

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 771

[wiskunde] analyse:continu

Opgave:

Afbeelding

Ik dacht hieraan te beginnen als volgt:
\( \frac{\lim} {(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{x}{(x²+y²)^\alpha} \)
= 0
\( \frac{\lim} {x \rightarrow my} \frac{my}{(m²y²+y²)^\alpha} \)
= 0
\( \frac{\lim} {x \rightarrow my} \frac{my}{y^{2/\alpha}(m²+1)^\alpha} \)
= 0

En in een volgende stap wou ik die limieten splitsen,

En dan zou volgens mij
\( \frac{\lim} {x \rightarrow my} \frac{y}{y^{2/\alpha}} * \frac{\lim} {x \rightarrow my} \frac{1} {m^{-{\alpha+2}}+m^{-\alpha}} \)
= 0

Maar het mag duidelijk zijn dat ik al lang in de mist ben gegaan hier...

Ik heb totaal geen idee wat ik alternatief zou doen.

(sorry voor mijn vreemde limieten, maar ik vind latex op dat vlak buitengewoon onhandig, hopelijk is het beetje leesbaar...)

Berichten: 4.246

Re: [wiskunde] analyse:continu

Als de limiet afhangt van een (willekeurige) waarde van m bestaat de limiet dan?
Quitters never win and winners never quit.

Berichten: 771

Re: [wiskunde] analyse:continu

nee, en daarom was ik aan het denken aan
\( m^{-\alpha+2}+m^{-\alpha} \)
= 0

Maar ik zie niet echt in voor welke alfa dit waar is

Verder dacht ik aan een voorwaarde 2/
\(\alpha\)
> 1

Zodat die eerste limiet 0 zou zijn

Berichten: 8.614

Re: [wiskunde] analyse:continu

(sorry voor mijn vreemde limieten, maar ik vind latex op dat vlak buitengewoon onhandig, hopelijk is het beetje leesbaar...)
LaTeX heeft een eigen limietcommando: \lim_{}. Tussen de accolades schrijf je waar de limiet naartoe gaat. Je eerste limiet wordt bijvoorbeeld:
\(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x}{x^2 + y^2} = 0\)
(klik voor de code)
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!

Berichten: 771

Re: [wiskunde] analyse:continu

Klintersaas schreef:LaTeX heeft een eigen limietcommando: \lim_{}. Tussen de accolades schrijf je waar de limiet naartoe gaat. Je eerste limiet wordt bijvoorbeeld:
\(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x}{x^2 + y^2} = 0\)
(klik voor de code)
ah, bedankt

Ik kon het niet vinden tussen de FAQ en de lijsten met speciale tekens :D

Berichten: 8.614

Re: [wiskunde] analyse:continu

Vreemd, het staat onder "5. Standard Function Names" in het overzicht van LaTeX-codes:
latexlimiet.png
latexlimiet.png (10.24 KiB) 417 keer bekeken
Misschien heb je er gewoon overgekeken. Het belangrijkste is dat je het nu weet. Terug naar de eigenlijke vraag.
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] analyse:continu

Het probleem met je aanpak is dat je met y=mx niet alle gevallen gaat afgaan.

De vorm van de noemer suggereert misschien een andere substitutie...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 771

Re: [wiskunde] analyse:continu

hmmm...

x² +y² = m

misschien?

Maar dan is x =
\( \sqrt{m-y²} \)
En dat lijkt me nu ook niet op simpel op te lossen...

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] analyse:continu

Iets waarmee je die som van kwadraten omzet in een enkel kwadraat, denk goniometrie...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 771

Re: [wiskunde] analyse:continu

hmm... het enige waar ik zometeen op kan komen is x = ysinh(t)

Zodat de noemer
\(y^{\alpha}*sinh(t)^{\alpha}\)
wordt

dan geeft dit
\( \lim_{x \to ysinh(t)} \frac{ysinh(t)}{y^{\alpha}*sinh(t)^{\alpha}} \)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] analyse:continu

Poolcoördinaten... Met x = r.cos(t) en y = r.sin(t) gaat x²+y² gewoon over in r².
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 771

Re: [wiskunde] analyse:continu

Poolcoördinaten... Met x = r.cos(t) en y = r.sin(t) gaat x²+y² gewoon over in r².
ok...dat kan ook ja :D

Bon, dat geeft dan
\( \lim_{(x,y) \to (rcos(t),rsin(t))} \frac{cos(t))}{r^{2\alpha-1}} \)
Moet ik die r als constant beschouwen nu?

ik bedoel maar, vervult die de rol van die m? of is dat t?

en klopt de notatie onder die limiet een beetje?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] analyse:continu

Je noteert je limiet verkeerd, (x,y) gaat over in (r,t) dus als (x,y)->0, wat moet (r,t) dan?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 771

Re: [wiskunde] analyse:continu

Je noteert je limiet verkeerd, (x,y) gaat over in (r,t) dus als (x,y)->0, wat moet (r,t) dan?
euhm....ik zou zeggen (pi/2,0)

of (0,pi/2) kan ook goed zijn....

Ofzoiets....

ok, ik kan dus totaal niet meer volgen :D

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] analyse:continu

Als jij zegt y = mx, dan krijg je (x,mx) in plaats van (x,y) en de limiet wordt dan m->0 in plaats van (x,y)->(0,0) - dat snap je? Wat moet in poolcoördinaten naar wat gaan, opdat (x,y) naar (0,0) gaat als x = r.cos(t) en y = r.sin(t)? Denk eventueel meetkundig.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer