Springen naar inhoud

Nooit opspansels?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Olezgus

    Olezgus


  • >250 berichten
  • 391 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 december 2008 - 19:30

Beste lezer,

Ik heb mezelf in verwarring gebracht:

Onderstaande 4 vectoren spannen de R4 op.
[1 0 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]

Immers, met vrij te kiezen constanten kan iedere vector in R4 gemaakt worden.

Maar nu: ik introduceer dubbele informatie. Nogmaals de vector [1 0 0 0] bijvoorbeeld.
Stel nu dat ik dit niet in de gaten heb en ik stel de volgende vergelijking op:

c1 * [1 0 0 0] + c2 * [0 1 0 0] + c3 * [0 0 1 0] + c4 * [0 0 0 1] + c5 * [1 0 0 0] = [u1 u2 u3 u4]

Dit stelsel in matrixvorm levert: (let niet op de puntjes, nodig om recht boven elkaar te zetten)

|1 0 0 0 1| |c1|.....|u1|
|0 1 0 0 0| |c2|.....|u2|
|0 0 1 0 0| |c3|.. =|u3|
|0 0 0 1 0| |c4|.....|u4|
.................|c5|

Dit stelsel heeft een oplossing als de coefficient-matrix inverteerbaar is (determinant is niet 0)

Vervolgens ga ik vegen: kolom 3 - kolom 5 wordt kolom 3.
--> hoera, een 0-kolom !
Als ik naar deze kolom ga ontwikkelen volgt daaruit dat de determinant van de matrix dus gelijk is aan 0.

Dit betekent vervolgens dat de matrix NIET inverteerbaar is, en dat er GEEN oplossingen zijn. De vectoren spannen dus NIET R4 op...

En dat is natuurlijk onzin, want dat deden 4 ervan wel al...

Waar gaat het mis? :D

Alvast bedankt

Veranderd door Olezgus, 23 december 2008 - 19:34


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 december 2008 - 19:38

Die vectoren spannen wel R4 op, maar niet op een unieke wijze, ze zijn niet lineair onafhankelijk.
En die determinant is inderdaad nul (je kan 1 rij kolom schrijven als lineaire combinatie van de 4 andere)

en dat stelsel, het wil niet zeggen dat je geen oplossing hebt, wel dat je geen unieke oplossing hebt!

#3

Olezgus

    Olezgus


  • >250 berichten
  • 391 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 december 2008 - 19:46

De methode heb ik van site
In example 5b gebruikt hij det=0 als bewijs dat de vectoren R3 NIET opspannen...

Blijkbaar is dat dus geen goed bewijs? :D

#4

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 december 2008 - 20:08

in dat voorbeeld van die site zijn die vectoren niet voortbrengend voor R3.
in jouw voorbeeld zijn de vectoren wel voortbrengend, maar ze zijn niet lineair afhankelijk!
det!=0 wil zeggen dat je een UNIEKE oplossing hebt ...

kijk eens naar het verschil, in jouw voorbeeld heb je 5 vectoren om een 4D ruimte op te spannen, als je de lineair afhankelijke eruit laat, heb je er dus nog 4 om een 4D ruimte op te stellen, als die lineair onafhankelijk zijn, is het span van die vectoren R4.
en op die site heb je 3 vectoren om een 3D ruimte op te spannen, maar 1 van die 3 vectoren is lof van die 2 andere, dus je hebt maar 2 'goede' vectoren om je 3D ruimte op te spannen, te weinig dus.

Ik denk dat ik niet helemaal juist was met de term 'span'

begrijp je er nog iets van? ik besef dat ik niet al te duidelijk ben.

... en dat er GEEN oplossingen zijn.

dat is dus de fout in de redenering.
Je mag hieruit besluiten dat je geen UNIEKE oplossing hebt, niet dat je geen oplossing hebt.
(er zijn namelijk oneindig veel oplossingen)

#5

Olezgus

    Olezgus


  • >250 berichten
  • 391 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 december 2008 - 20:15

Dus om te kijken of een stel vectoren een bepaalde ruimte opspannen moet je eerst kijken of er geen lineaire afhankelijkheid inzit.
Als je die vervolgens vind, dan haal je een afhankelijke vector eruit en dan doe je het geintje zoals in mijn 1e post gewoon.

Als je zeker weet dat je geen afhankelijke vectoren meer hebt, dan mag je de conclusie det=0 dus de ruimte wordt NIET opgespannen dus WEL trekken ?

begrijp je er nog iets van? ik besef dat ik niet al te duidelijk ben.


Als mijn bovenstaande verhaal klopt ben je blijkbaar toch wel duidelijk :D

#6

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 december 2008 - 20:27

aha, ik heb nog wat haperingen gevonden.

die methode van die site mag je alleen maar uitvoeren als je n vectoren wil onderzoeken, bij een n dimensionale ruimte.
wat je dus doet in je voorbeeld hierboven is zever, een determinant is immers enkel gedefinieerd voor een vierkante matrix!
En dan is het zeer eenvoudig, als die determinant=0, zijn je vectoren niet voortbrengend. punt.

een andere mogelijkheid is dat je minder dan n vectoren hebt bij Rn
dan weet je dus ook zeker dat je vectoren Rn niet kunnen opspannen.

een laatste mogelijkheid is dat je meer dan n vectoren hebt, en dan kan je wat moeilijkheden hebben.
je kan er inderdaad vectoren uithalen tot je er nog n overhoudt, maar je kan er de 'verkeerde' uithalen, zodat je n vectoren overhoudt die niet meer voortbrengend zijn, terwijl je oorspronkelijke verzameling vectoren dat wel was!
Hiervoor weet ik niet direct een algemene en gemakkelijke methode.

dat in mijn vorige post over det=0 enzo, moet je maar negeren :D

#7

Olezgus

    Olezgus


  • >250 berichten
  • 391 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 december 2008 - 20:42

dat in mijn vorige post over det=0 enzo, moet je maar negeren :D


Ik vond het best een aardig verhaal eigenlijk, staan er echt fouten in?

En determinanten zijn alleen voor nxn-matrices gedefinieerd natuurlijk :P waardoor het hele verhaal inderdaad in de soep loopt...

Mogelijke situaties:
- evenveel vectoren als dimensies gegeven --> dit gewoon toepassen, det=0 betekent dat de ruimte niet opgespannen wordt
- te weinig --> de ruimte wordt sowieso niet opgespannen

Tot zover was jij ook, maar dan:

- te veel --> vorm uit de vectoren een basis
De basis heeft onmogelijk meer vectoren dan dat er dimensies waren, toch? *
dus dan heb je er ofwel precies genoeg, ofwel te weinig en kan je hierboven weer verder)

* Want als je R5 bijvoorbeeld wil beschrijven moet dat met 5 vectoren die ieder uit 5 'onderdelen' bestaan, toch?

#8

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 december 2008 - 20:52

- te veel --> vorm uit de vectoren een basis
De basis heeft onmogelijk meer vectoren dan dat er dimensies waren, toch? *
dus dan heb je er ofwel precies genoeg, ofwel te weinig en kan je hierboven weer verder)

Als je al zover bent dat je een basis vindt, ben je er he, dan kan je je ruimte altijd voorstellen.
maar een basis is niet noodzakelijk, en is vaak niet zo gemakkelijk om te vinden.
je kan het wel altijd rechtstreeks oplossen via de definitie van span. dus je moet coefficienten vinden, zodat je al je vectoren uit Rn kan maken.



* Want als je R5 bijvoorbeeld wil beschrijven moet dat met 5 vectoren die ieder uit 5 'onderdelen' bestaan, toch?

raar uitgedrukt, maar het klopt. hoewel er bijvoorbeeld nog een 6e vector mag bijstaan!
die extra vector zal lof zijn van de 5 andere, maar dat is geen probleem voor span/voorbrengendheid.
wel voor basis: 6 vectoren kunnen geen basis zijn van R5. Want een basis=span+alle vectoren lineair onafhankelijk van elkaar.

#9

Olezgus

    Olezgus


  • >250 berichten
  • 391 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 december 2008 - 20:56

Oke, dan heb ik geen vragen meer!

Bedankt voor de zeer snelle reacties! :D

#10

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 december 2008 - 21:00

succes
en als je nog vragen hebt, laat maar komen.
ik hoop dat het allemaal een beetje klopt. Lineaire algebra gebruik ik niet meer zo veel.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures