Springen naar inhoud

[wiskunde] ophopingspunt


  • Log in om te kunnen reageren

#1

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 december 2008 - 01:03

Ik snap perfect wat een ophopingspunt van een rij is, en als ik een (gemakkelijke analyseerbare) rij zie kan ik hem er wel uithalen, maar ik vroeg me af of er een algemene methode/formule is om ophopingspunten te vinden?

vb1: De rij LaTeX met LaTeX en LaTeX heeft duidelijk 0 als ophopingspunt maar divergeert.
vb2: De rij LaTeX met LaTeX en LaTeX heeft duidelijk 0 en 1 als ophopingspunten, en divergeert.
vb3: De rij LaTeX met LaTeX heeft duidelijk 1 als ophopingspunt, en convergeert dan ook naar dat ophopingspunt.

Maar hoe vind je nu de ophopingspunten van ingewikkeldere rijen?

Ik neem aan dat je daarvoor best eerst verschillende deelrijen van de rij zoekt, en dan de limiet voor n->LaTeX uitrekent van alle deelrijen. Maar hoe vind je nu exact alle deelrijen? Daar bestaat toch ook geen algemene formule voor? Moet je daarvoor gewoon enkele termen uitrekenen en dan proberen de deelrijen te onderscheiden van elkaar?


Denis

Veranderd door HosteDenis, 25 december 2008 - 01:11

"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 december 2008 - 01:14

Er bestaat (helaas) geen algemeen "recept". Het loont inderdaad de moeite om op zoek te gaan naar nuttige deelrijen, die je soms al uit het voorschrift van de rij kan afleiden (bijvoorbeeld als er een meervoudig voorschrift is, of met een term (-1)^n zodat je alternerende termen krijgt enzovoort).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 december 2008 - 01:37

Er bestaat (helaas) geen algemeen "recept".


Balen, ik had gehoopt op iets algemeens...

(bijvoorbeeld als er een meervoudig voorschrift is, of met een term (-1)^n zodat je alternerende termen krijgt enzovoort).


Akkoord, maar veel meer kan je dan toch nog steeds niet doen, toch? Neem nu bvb de rij LaTeX , dan kan je toch niet meer doen dan zeggen dat u_n twee ophopingspunten heeft, en dus zijn ophopinspunt 1 en 2 gelijk aan

  • LaTeX
  • LaTeX


Denis

Veranderd door HosteDenis, 25 december 2008 - 01:50

"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#4

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 december 2008 - 11:53

Als die eerste en tweede limiet zouden bestaan kan je dat zeggen, ja.
maar geen van beide limieten is een reel getal. Dat zijn dus geen ophopingspunten.
neem bvb eens de limiet van u(k), met k=6n+1, naar oneindig
Verborgen inhoud
LaTeX
. kijk hoe dat komt, en of er nog andere soortgelijke gevallen zijn bij deze rij.

Veranderd door stoker, 25 december 2008 - 11:54


#5

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 december 2008 - 16:49

Als die eerste en tweede limiet zouden bestaan kan je dat zeggen, ja.
maar geen van beide limieten is een reel getal. Dat zijn dus geen ophopingspunten.
neem bvb eens de limiet van u(k), met k=6n+1, naar oneindig

Verborgen inhoud
LaTeX
. kijk hoe dat komt, en of er nog andere soortgelijke gevallen zijn bij deze rij.



LaTeX

Begrepen, dus bij het zoeken naar de deelrij, zorgen dat je in een geval als dit (periodieke functies) je limiet van je deelrij bepaalt wordt door een constante (in dit geval pi/3).

Dus, voor de andere deelrij geldt

LaTeX


Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#6

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 december 2008 - 17:04

bij periodieke functies ben je vaak geholpen met dezelfde werkwijze. zorg dat je n in je argument kwijtraakt door gebruik te maken van het periodiek karakter. (anders blijf je ronddraaien op je cirkeltje).

LaTeX omdat 2Pi een periode is van de cotangens.

En heb je je er al van verzekerd of er nog andere ophopingspunten zijn? naast 6n+1 en 6n, kunnen er eventueel nog zijn. ik heb maar een voorbeeld gegeven. een cotangens is zelfs periodiek met periode Pi! :D

#7

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 december 2008 - 17:20

Ok, ik begrijp het volledig denk ik. Enkel dat foutje dan dat periode cot gelijk is aan pi, maar dat is een verstrooiheidsfoutje door het rekenen voor een computerscherm, al LaTeX typend, ... enzovoort.

Uiteraard heb je ook nog:

LaTeX

Deelrij LaTeX , indien 3n+1 oneven is, en je mag ze dus als dezelfde deelrij beschouwen want ze hebben toch hetzelfde ophopingspunt.

Verder bestaat er nog een deelrij volgens mij, want bovenstaande deelrij geldt voor 3n+1 oneven. Indien 3n+1 even is, geldt:

LaTeX


Denis

Veranderd door HosteDenis, 25 december 2008 - 17:27

"Her face shown like the sun that I strived to reach."





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures