Willen weten hoe dit komt, doe ik het volgende:\(\mbox{ar}\sinh (x) = \ln \left( x + \sqrt{x^2 +1} \right)\)
Stel
\(y = \mbox{ar}\sinh (x)\)
, dan \(x = \frac{e^y-e^{-y}}{2}\)
.We werken dit uit:
\(\begin{array}{ccc} x & = & \frac{e^y-e^{-y}}{2} \\ 2x & = & e^y-e^{-y} \\ 2xe^y & = & e^{2y}-1 \\ e^{2y} -2xe^y - 1 & = & 0 \end{array}\)
.Tot daar geraak ik zonder moeite, volgens mijn boek is de uitwerking tot daar al in de goede richting, want ze zeiden me dit te proberen aan te tonen via
\(e^{2y} -2xe^y - 1 = 0\)
, wat ik al deed. Maar welke weg ik nu ook insla, ik vind niet de nodige \(e^y = x + \sqrt{x^2 +1}\)
Edit: De enige methode die ik nog niet berekende is z substitueren voor e^y, en een vierkantsvergelijking oplossing, omdat die weg me niet zo voor de hand liggend lijkt en het volgens mij korter moet kunnen, het boek geeft de oefening ook een 'makkelijk' moeilijkheidsniveau, wat mij doet denken dat dit zo op te lossen is.Edit2: Wachtend op een antwoord deed ik dat dan toch, en idd,
\(D = (-2x)^2 - (4 cdot -1) = 4x^2 + 4\)
en dus \(e^y = \frac{2x + 2\sqrt{x^2 + 1}}{2} = x + \sqrt{x^2 + 1}\)
, de tweede opl valt weg omdat je anders de ln moet nemen van een negatief geheel...Denis
Denis
