\(f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ccc} \frac{2x^2y}{x^4+y^2} & \mbox{ als } & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{ als } & (x,y) = (0,0) \end{array} \mbox{ en } \vec{\beta} = (a,b)^T \mbox{ en } \vec{p_0} = (0,0)^T\)
.Gevraagd is
\(D_{\vec{\beta}}f(\vec{p_0})\)
.Ik ging als volgt te werk:
\(D_{\vec{\beta}}f(\vec{p_0}) = \lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{f(\vec{p_0} + t\vec{\beta}) - f(\vec{p_0})}{t} = \lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{\varphi (t) - f(\vec{p_0})}{t}\)
Dus \(\vec{p_0} + t\vec{\beta} = (ta,tb)^T\)
en dus \(\varphi (t) = f(\vec{p_0} + t\vec{\beta}) = \frac{2a^2bt^3}{a^4t^4 + b^2t^2} \)
Dus \(D_{\vec{\beta}}f(\vec{p_0}) = \lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{2a^2bt^3}{a^4t^5 + b^2t^3} = \lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{2a^2b}{a^4t^2 + b^2} = \frac{2a^2}{b}\)
Dit bljkt echter niet te kloppen volgens mijn boek, dat zegt dat \(D_{\vec{\beta}}f(\vec{p_0}) = \left\{ \begin{array}{ccc} \frac{4a^2}{b} & \mbox{ als } & b \neq 0 \\ 0 & \mbox{ als } & b = 0 \end{array}\)
Dan vraag ik mij af waar mijn rekenfout zit bij die eerste voorwaarde (factor 2) en hoe ze tot die tweede voorwaarde komen. Ik neem aan dat die volgt uit de tweede voorwaarde van het functievoorschrift van f(x,y)? Volgt dat gewoon uit het feit dat als voor beta de eerste voorwaarde niet gedefinieerd is, je moet kijken naar de andere voorwaarde van f(x,y), waarvan de richtingsafgeleide duidelijk 0 zal zijn?Denis
