Onderzoek het convergentiegedrag van de volgende reeksen met gelijk welke methode:
1)
\(\sin^2(\alpha)} + \frac{\sin^4(\alpha)}{2} + \frac{\sin^6(\alpha)}{3} + \cdots + \frac{\sin^{2n}(\alpha)}{n} + \cdots\)
[/i] met \(\alpha \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[\)
Mijn oplossing:Alle termen zijn positief, dus kunnen we het convergentiekenmerk van d'Alembert gebruiken:
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{\sin^{2n+2}(\alpha)}{n+1}}{\frac{\sin^{2n}(\alpha)}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\sin^{2n+2}(\alpha)}{n+1} \cdot \frac{n}{\sin^{2n}(\alpha)} = \sin^2(\alpha) \cdot \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n+1} = \sin^2(\alpha)\)
Aangezien \(\alpha \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[\)
, is \(\sin^2(\alpha) \in\ ]0,1[\)
en bijgevolg convergeert deze reeks.Is deze redenering correct. Ik meen van wel, maar zoals wel vaker gebeurt, twijfel ik weer aan mezelf.
Mar verandert toch niet veel? Die 