[wiskunde] transformatie van dubbele integralen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 27-12-'08, 22:03

HosteDenis

Gebruikersavatar
Berichten: 689

[wiskunde] transformatie van dubbele integralen

Neem de volgende dubbele integraal
\(I = \int \int_D \exp \left( \frac{x-y}{x+y} \right) \; dx \; dy\)
, met D begrenst door de lijnen x = 0, y = 0 en x + y = 1.

Ik substitueer
\(u = x-y\)
en
\(v = x+y\)
en dus
\(I = \int \int_D \exp \left( \frac{u}{v} \right) \; du \; dv\)
, met D begrenst door de lijnen -u = v, u = v en v=1.

Numerieke waarden even aan de kanten, zodat we niet alles hoeven uit te rekenen, alles klopt behalve het feit dat mijn integraal blijkbaar
\(I = \int \int_D \frac{1}{2} \exp \left( \frac{u}{v} \right) \; du \; dv\)
moet zijn. Die factor twee ligt waarschijnlijk aan mijn conversie van dx en dy naar du en dv. Ik zie maar niet hoe het moet. Kan iemand me dit uitleggen aub?

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."
Omhoog

Bericht 27-12-'08, 22:27

Burgie

Berichten: 582

Re: [wiskunde] transformatie van dubbele integralen

En waar is de determinant van de Jacobiaan heen? :D
Omhoog

Bericht 27-12-'08, 22:46

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] transformatie van dubbele integralen

Je vervangt dxdy door dudv. Met welke redenering? (zie Burgie [dus de determinant van de Jacobiaan, de matrix en zijn determinant worden beide soms "Jacobiaan" genoemd], en dit)
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 27-12-'08, 23:30

HosteDenis

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: [wiskunde] transformatie van dubbele integralen

Begrepen, ik wist dat er iets was dat ik vergat, maar had geen voorbeeldoefening om te volgen, ik ben momenteel niet thuis en heb slechts een beperkt deel van de cursus meegenomen.

Opgave:

Neem de volgende dubbele integraal
\(I = \int \int_D \exp \left( \frac{x-y}{x+y} \right) \; dx \; dy\)
, met D begrenst door de lijnen x = 0, y = 0 en x + y = 1.

Oplossing:

Ik substitueer
\(u = x-y\)
en
\(v = x+y\)
en dus
\(I = \int \int_D' \exp \left( \frac{u}{v} \right) \cdot \vert J(u,v) \vert \; du \; dv\)
, met D' begrenst door de lijnen -u=v, u=v en v=1.
\(\vert J(u,v) \vert = \left| \begin{array}{cc} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right| = 2 \)
Dan vraag ik mij af waarom mijn boek (en jullie waarschijnlijk) 1/2 heeft en niet 2...

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."
Omhoog

Bericht 28-12-'08, 00:28

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] transformatie van dubbele integralen

Je voert de verkeerde berekening uit; goed opletten op je notatie J(u,v).

u=x-y en v=x+y --> x=(u+v)/2 en y=(u-v)/2.
\(|J(u,v)|= \left| \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right| = \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)
In het algemeen geldt
\(\int_D f(x,y)\mbox{d}x\mbox{d}y=\int_{D*} f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|\mbox{d}u\mbox{d}v\)
met
\(D=f(D*)\)
en met
\(\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|=|J(u,v)|=\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right| \)
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 28-12-'08, 01:54

HosteDenis

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: [wiskunde] transformatie van dubbele integralen

Phys schreef:Je voert de verkeerde berekening uit; goed opletten op je notatie J(u,v).

u=x-y en v=x+y --> x=(u+v)/2 en y=(u-v)/2.
\(|J(u,v)|= \left| \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right| = \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)
In het algemeen geldt
\(\int_D f(x,y)\mbox{d}x\mbox{d}y=\int_{D*} f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|\mbox{d}u\mbox{d}v\)
met
\(D=f(D*)\)
en met
\(\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|=|J(u,v)|=\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right| \)
Dat legt het perfect uit, had ik maar een boek geschreven door jou!

Dus neem nu als voorbeeld of ik het snap
\(I = \int \int_D \sqrt{1-x^2-y^2} \; dx \; dy\)
met D de cirkel met straal 1 en oorsprong als middelpunt.

Dan is voor poolcoörindaten,
\(\vert J(r,\theta) \vert = \left| \begin{array}{cc} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{array} \right| = r(\sin^2 \theta + cos^2 \theta) = r\)


en dus
\(I = \int \limits_0^{2 \pi} d \theta \int \limits_0^1 r\sqrt{1-r^2} \; dr\)
Waarna je gewoon nog moet uitrekenen. Ik snap het, bedankt!

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."
Omhoog

Bericht 28-12-'08, 02:02

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] transformatie van dubbele integralen

Klopt helemaal! :D

Sidenote:
Verborgen inhoud
de Jacobiaan behorend bij de overgang van carthesische naar cilindrische en bolcoordinaten worden zo vaak gebruikt (sowieso in de natuurkunde) dat het handig is om ze te onthouden:
\(dxdy \to rdrd\theta\)
en
\(dxdydz\to r^2\sin\theta drd\theta d\phi \)
De eerste berekende je zojuist al, de tweede is ook een straightforward berekening.


Graag gedaan, en succes nog!
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 28-12-'08, 02:37

HosteDenis

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: [wiskunde] transformatie van dubbele integralen

Phys schreef:Sidenote: de Jacobiaan behorend bij de overgang van carthesische naar cilindrische en bolcoordinaten worden zo vaak gebruikt (sowieso in de natuurkunde) dat het handig is om ze te onthouden:
\(dxdy \to rdrd\theta\)
en
\(dxdydz\to r^2\sin\theta drd\theta d\phi \)
De eerste berekende je zojuist al, de tweede is ook een straightforward berekening.
Wij noemen dat poolcoördinaten (r = \(\sqrt{x^2 + y^2}\), \(\theta=\arctan y/x\)), en geen cilindrische. Cilindrische coördinaten zijn net als sferische coördinaten al 3D in onze cursus met sferisch = (x = r sin(phi) cos(theta), y = r sin(phi) sin(theta), z = r cos(phi)) en cilindrisch (eigenlijk hetzelfde als pool, maar dan uitgebreid naar 3D) = (u = \(\sqrt{x^2 + y^2}\), \(\theta=\arctan y/x\), z = z)

Klein verschil, maar naar mijn mening toch wat correcter (dat woord blijft maar terugkomen in gesprekken tussen ons) aangezien je 2D geen cilinder kan hebben. En nee, het is geen poging mijn gelijk te halen tov jou gewoon om mijn gelijk eens te halen, (aangezien ik maar blijf discussies verliezen :D ), er staat letterlijk vermeld in mijn cursus dat ze verschillend zijn. Maarja, die z = z zegt meteen hoe groot het verschil is... :D

Hoe dan ook, dat maakt de drie overgangen dus:
  1. pool
    \(dxdy \to r drd\theta \)
  2. sferisch
    \(dxdydz\to r^2\sin\varphi drd\varphi d\theta \)
  3. cilindrisch
    \(dxdydz\to u dud\theta dz \)
Graag gedaan, en succes nog!
Dankje!

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."
Omhoog

Bericht 28-12-'08, 10:45

Burgie

Berichten: 582

Re: [wiskunde] transformatie van dubbele integralen

Wij noemen dat poolcoördinaten (r = \(\sqrt{x^2 + y^2}\), \(\theta=\arctan y/x\)), en geen cilindrische. Cilindrische coördinaten zijn net als sferische coördinaten al 3D in onze cursus met sferisch = (x = r sin(phi) cos(theta), y = r sin(phi) sin(theta), z = r cos(phi)) en cilindrisch (eigenlijk hetzelfde als pool, maar dan uitgebreid naar 3D) = (u = \(\sqrt{x^2 + y^2}\), \(\theta=\arctan y/x\), z = z)
Onze prof gebruikte cilindrische en poolcoördinaten als volwaardige synoniemen van elkaar. Dat is nog leuker :D !
Omhoog

Bericht 29-12-'08, 18:29

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] transformatie van dubbele integralen

@Hostedenis: je hebt natuurlijk gelijk :D Vanwege de z=z lette ik er niet zo op
Verborgen inhoud
(al klopt wat ik zei wel: aangezien dz->dz geldt inderdaad dxdy->rdrdt, zodat dxdydz ->rdrdtdz :D )
.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”