Springen naar inhoud

[wiskunde] criterium van d'alembert voor reeksen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

velgrem1989

    velgrem1989


  • >100 berichten
  • 228 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2008 - 22:18

hoi,

waarom heb je geen zekerheid als je bij het criterium van d'alembert voor het aantonen van convergentie van reeksen als de limiet naar oneindig van (u(n+1)/u(n)) = 1 is.

thanks

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 december 2008 - 23:05

Er bestaan zowel convergente als divergente reeksen waarvoor die limiet 1 is, dus uit die limietwaarde kan je niets besluiten wat betreft convergentie.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

velgrem1989

    velgrem1989


  • >100 berichten
  • 228 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2008 - 02:24

Er bestaan zowel convergente als divergente reeksen waarvoor die limiet 1 is, dus uit die limietwaarde kan je niets besluiten wat betreft convergentie.

maar waarom is dat dan ? als je de stelling bekijkt dan:

voor een n > N \Rightarrow \frac{u(n+1)}{u(n)} \geq 1 dan is de reeks divergent

waarom geldt dit in de limiet enkel voor groter dan en niet meer voor gelijk aan?

#4

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2008 - 08:09

Een tegenvoorbeeld: LaTeX

#5

velgrem1989

    velgrem1989


  • >100 berichten
  • 228 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2008 - 11:57

Een tegenvoorbeeld: LaTeX

waarom is dit een "tegenvoorbeeld" want ik zou eerder zeggen dat dit het volgende bevestigd:

LaTeX de reeks is divergent

en in de limiet is LaTeX ook gelijk aan 1 , dus als de limiet 1 is is het divergent.

Veranderd door velgrem1989, 29 december 2008 - 11:59


#6

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2456 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2008 - 12:02

hoi,

waarom heb je geen zekerheid als je bij het criterium van d'alembert voor het aantonen van convergentie van reeksen als de limiet naar oneindig van (u(n+1)/u(n)) = 1 is.

thanks

Laten we eerst maar eens de formulering van het criterium geven: als [unparseable or potentially dangerous latex formula, error 7], dan is LaTeX convergent als L<1 en divergent als L>1. Omdat L=1 niet vermeld wordt betekent dit dat het criterium in dat geval geen uitsluitsel geeft over het al of niet convergent zijn van de reeks. Neem bijvoorbeeld de rij gedefinieerd door LaTeX , dan is LaTeX divergent omdat deze reeks de harmonische reeks voorstelt. Volgens het criterium van d'Alembert zou dus moeten gelden dat [unparseable or potentially dangerous latex formula, error 7], maar omdat [unparseable or potentially dangerous latex formula, error 7] betekent dit dat de divergentie van de harmonische reeks dus niet met het criterium van d'Alembert kan worden gevonden.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 december 2008 - 13:02

waarom is dit een "tegenvoorbeeld" want ik zou eerder zeggen dat dit het volgende bevestigd:

LaTeX

de reeks is divergent

en in de limiet is LaTeX ook gelijk aan 1 , dus als de limiet 1 is is het divergent.

Dit voorbeeld zou je stelling kunnen ondersteunen, als er geen tegenvoorbeelden "in de andere richting" bestaan. Daarmee bedoel ik: d'Alembert geeft ook limiet 1 maar de reeks is wl convergent. Zo'n voorbeeld is er ook, dus dit toont aan dat die limietwaarde 1 inderdaad geen uitsluitsel kan geven. Bekijk als voorbeeld

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

velgrem1989

    velgrem1989


  • >100 berichten
  • 228 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2008 - 13:20

Bekijk als voorbeeld

LaTeX

OK, nu zie ik dat het zo is , maar is de volgende reden daarvoor dan de juiste ? :

het criterium vergelijkt in feite met een meetkundige reeks: dus omdat de limiet 1 is moeten we vergelijken met een meetkundige reeks met vermenigvuldigingsfactor 1 , deze is divergent, maar omdat we te maken hebben met een reeks die altijd kleiner of gelijk aan deze divergente reeks is kan niet besloten worden of deze al dan niet convergent is

#9

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2456 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2008 - 13:23

waarom is dit een "tegenvoorbeeld" want ik zou eerder zeggen dat dit het volgende bevestigd:

LaTeX

de reeks is divergent

en in de limiet is LaTeX ook gelijk aan 1 , dus als de limiet 1 is is het divergent.

Nee, dat klopt niet. Stel LaTeX , dan stelt het criterium van d'Alembert dat LaTeX alleen convergent is als L<1 en alleen divergent als L>1. Omdat het criterium geen uitspraak doet over L=1 kun je in dat geval dus niets over het al of niet convergent zijn van de reeks zeggen. Neem als voorbeeld de rij gedefinieerd door LaTeX , dan is de bijbehorende (harmonische) reeks divergent. Omdat in dit geval LaTeX kun je het criterium van d'Alembert niet toepassen omdat volgens dit criterium LaTeX zou moeten gelden, wat echter niet het geval is. Overigens geldt hetzelfde geval voor het wortelkenmerk van Cauchy.

Veranderd door mathreak, 29 december 2008 - 13:24

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#10

velgrem1989

    velgrem1989


  • >100 berichten
  • 228 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2008 - 13:54

Nee, dat klopt niet. Stel LaTeX

, dan stelt het criterium van d'Alembert dat LaTeX alleen convergent is als L<1 en alleen divergent als L>1. Omdat het criterium geen uitspraak doet over L=1 kun je in dat geval dus niets over het al of niet convergent zijn van de reeks zeggen.

Ik weet dat de stelliing geen uitspraak doet over = 1 , mijn vraag is dan ook eigenlijk waarom doet de stelling daar geen uitsraak over, hoe komt dit? Ik weet intussen dat er voorbeelden zijn die beide gevallen aantonen (convergentie en divergentie bij limiet = 1) , maar ik vraag me af wat de rede hiervoor is.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 december 2008 - 13:59

Dat komt omdat je (zoals je zelf al ongeveer aangaf, denk ik) terugvalt op het vergelijkingskenmerk met een meetkundige reeks an waarbij je convergentie hebt voor |a|<1. Als a=1 convergeert die meetkundige reeks niet meer, maar dat wil niet zeggen dat de reeks waarmee je aan het vergelijken bent niet kan convergeren: het vergelijkinskenmerk gaat dan gewoonweg niet meer op...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

velgrem1989

    velgrem1989


  • >100 berichten
  • 228 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2008 - 14:25

OK, ik begrijp het.

Merci iedereen.

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 december 2008 - 14:26

Graag gedaan - succes nog!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 december 2008 - 14:29

[...] dan stelt het criterium van d'Alembert dat LaTeX

[...]

Mogelijk gewoon een klein vergetelheidje, maar hoort dat niet LaTeX te zijn?

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 december 2008 - 14:32

Ja, of n als index bij de sommatie... :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures