[wiskunde] criterium van d'alembert voor reeksen

velgrem1989

hoi,

waarom heb je geen zekerheid als je bij het criterium van d'alembert voor het aantonen van convergentie van reeksen als de limiet naar oneindig van (u(n+1)/u(n)) = 1 is.

thanks

TD

Er bestaan zowel convergente als divergente reeksen waarvoor die limiet 1 is, dus uit die limietwaarde kan je niets besluiten wat betreft convergentie.

velgrem1989

Er bestaan zowel convergente als divergente reeksen waarvoor die limiet 1 is, dus uit die limietwaarde kan je niets besluiten wat betreft convergentie.

maar waarom is dat dan ? als je de stelling bekijkt dan:

voor een n > N \Rightarrow \frac{u(n+1)}{u(n)} \geq 1 dan is de reeks divergent

waarom geldt dit in de limiet enkel voor groter dan en niet meer voor gelijk aan?

stoker

Een tegenvoorbeeld:

\(\sum_{k=- \infty}^{\infty} 1=\infty\)

velgrem1989

Een tegenvoorbeeld:
\(\sum_{k=- \infty}^{\infty} 1=\infty\)

waarom is dit een "tegenvoorbeeld" want ik zou eerder zeggen dat dit het volgende bevestigd:

\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=1 \Rightarrow\)

de reeks is divergent

en in de limiet is

\(\frac{u_{n+1}}{u_n}\)

ook gelijk aan 1 , dus als de limiet 1 is is het divergent.

mathfreak

velgrem1989 schreef:hoi,

waarom heb je geen zekerheid als je bij het criterium van d'alembert voor het aantonen van convergentie van reeksen als de limiet naar oneindig van (u(n+1)/u(n)) = 1 is.

thanks

Laten we eerst maar eens de formulering van het criterium geven: als

\(\lim_{n\rightarrow\inf}\frac{u_{n+1}{u_n}=L\)

, dan is

\(\sum_{i=0}^\inf u_n\)

convergent als L<1 en divergent als L>1. Omdat L=1 niet vermeld wordt betekent dit dat het criterium in dat geval geen uitsluitsel geeft over het al of niet convergent zijn van de reeks. Neem bijvoorbeeld de rij gedefinieerd door

\(u_n=\frac{1}{n}\)

, dan is

\(\sum_{i=0}^\inf u_n\)

divergent omdat deze reeks de harmonische reeks voorstelt. Volgens het criterium van d'Alembert zou dus moeten gelden dat

\(\lim_{n\rightarrow\inf}\frac{u_{n+1}{u_n}>1\)

, maar omdat

\(\lim_{n\rightarrow\inf}\frac{u_{n+1}{u_n}=1\)

betekent dit dat de divergentie van de harmonische reeks dus niet met het criterium van d'Alembert kan worden gevonden.

TD

velgrem1989 schreef:waarom is dit een "tegenvoorbeeld" want ik zou eerder zeggen dat dit het volgende bevestigd:

\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=1 \Rightarrow\)
de reeks is divergent

en in de limiet is
\(\frac{u_{n+1}}{u_n}\)
ook gelijk aan 1 , dus als de limiet 1 is is het divergent.

Dit voorbeeld zou je stelling kunnen ondersteunen, als er geen tegenvoorbeelden "in de andere richting" bestaan. Daarmee bedoel ik: d'Alembert geeft ook limiet 1 maar de reeks is wél convergent. Zo'n voorbeeld is er ook, dus dit toont aan dat die limietwaarde 1 inderdaad geen uitsluitsel kan geven. Bekijk als voorbeeld

\(\sum \frac{1}{n^2}\)

velgrem1989

TD schreef:Bekijk als voorbeeld

\(\sum \frac{1}{n^2}\)

OK, nu zie ik dat het zo is , maar is de volgende reden daarvoor dan de juiste ? :

het criterium vergelijkt in feite met een meetkundige reeks: dus omdat de limiet 1 is moeten we vergelijken met een meetkundige reeks met vermenigvuldigingsfactor 1 , deze is divergent, maar omdat we te maken hebben met een reeks die altijd kleiner of gelijk aan deze divergente reeks is kan niet besloten worden of deze al dan niet convergent is

mathfreak

velgrem1989 schreef:waarom is dit een "tegenvoorbeeld" want ik zou eerder zeggen dat dit het volgende bevestigd:

\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=1 \Rightarrow\)
de reeks is divergent

en in de limiet is
\(\frac{u_{n+1}}{u_n}\)
ook gelijk aan 1 , dus als de limiet 1 is is het divergent.

Nee, dat klopt niet. Stel

\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=L\)

, dan stelt het criterium van d'Alembert dat

\(\sum_{i=0}^\infty u_n\)

alleen convergent is als L<1 en alleen divergent als L>1. Omdat het criterium geen uitspraak doet over L=1 kun je in dat geval dus niets over het al of niet convergent zijn van de reeks zeggen. Neem als voorbeeld de rij gedefinieerd door

\(u_n=\frac{1}{n}\)

, dan is de bijbehorende (harmonische) reeks divergent. Omdat in dit geval

\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=1\)

kun je het criterium van d'Alembert niet toepassen omdat volgens dit criterium

\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}>1\)

zou moeten gelden, wat echter niet het geval is. Overigens geldt hetzelfde geval voor het wortelkenmerk van Cauchy.

velgrem1989

Nee, dat klopt niet. Stel
\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=L\)
, dan stelt het criterium van d'Alembert dat
\(\sum_{i=0}^\infty u_n\)
alleen convergent is als L<1 en alleen divergent als L>1. Omdat het criterium geen uitspraak doet over L=1 kun je in dat geval dus niets over het al of niet convergent zijn van de reeks zeggen.

Ik weet dat de stelliing geen uitspraak doet over = 1 , mijn vraag is dan ook eigenlijk waarom doet de stelling daar geen uitsraak over, hoe komt dit? Ik weet intussen dat er voorbeelden zijn die beide gevallen aantonen (convergentie en divergentie bij limiet = 1) , maar ik vraag me af wat de rede hiervoor is.

TD

Dat komt omdat je (zoals je zelf al ongeveer aangaf, denk ik) terugvalt op het vergelijkingskenmerk met een meetkundige reeks aⁿ waarbij je convergentie hebt voor |a|<1. Als a=1 convergeert die meetkundige reeks niet meer, maar dat wil niet zeggen dat de reeks waarmee je aan het vergelijken bent niet kan convergeren: het vergelijkinskenmerk gaat dan gewoonweg niet meer op...

velgrem1989

OK, ik begrijp het.

Merci iedereen.

TD

Graag gedaan - succes nog!

Klintersaas

[...] dan stelt het criterium van d'Alembert dat
\(\sum_{i=0}^\infty u_n\)
[...]

Mogelijk gewoon een klein vergetelheidje, maar hoort dat niet

\(\sum_{i=0}^\infty u_i\)

te zijn?

TD

Ja, of n als index bij de sommatie...

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] criterium van d'alembert voor reeksen

[wiskunde] criterium van d'alembert voor reeksen

Re: [wiskunde] criterium van d'alembert voor reeksen

Re: [wiskunde] criterium van d'alembert voor reeksen

Re: [wiskunde] criterium van d'alembert voor reeksen

Re: [wiskunde] criterium van d'alembert voor reeksen

Re: [wiskunde] criterium van d'alembert voor reeksen

Re: [wiskunde] criterium van d'alembert voor reeksen

Re: [wiskunde] criterium van d'alembert voor reeksen

Re: [wiskunde] criterium van d'alembert voor reeksen

Re: [wiskunde] criterium van d'alembert voor reeksen

Re: [wiskunde] criterium van d'alembert voor reeksen

Re: [wiskunde] criterium van d'alembert voor reeksen

Re: [wiskunde] criterium van d'alembert voor reeksen

Re: [wiskunde] criterium van d'alembert voor reeksen

Re: [wiskunde] criterium van d'alembert voor reeksen