Moderators: dirkwb , Xilvo
Berichten: 150
Gegeven :
\( f:A\rightarrow B, \)
en
\( f(x)>0\ \forall \ x \in A \)
\(S = \{a,b \in A\ ;\ a<b\} \)
Dan geldt toch dat :
\( \int_S f(x) dx >0 \)
Bewijs : Laat F(x) de primitieve van f, dan is
\( F(b) > F(a) \Rightarrow F(b) - F(a)>0 \Rightarrow \int_S f(x)dx >0\)
Of is dit te kort door de bocht?
Bericht
di 30 dec 2008, 13:37 30-12-'08, 13:37
TD
Berichten: 24.578
Waar haal je F(b)>F(a) zo eenvoudig uit? Wat garandeert overigens het bestaan van een primitieve?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Onleesbaar.
Wat is
\(A\)
???
Wat is
\(\{a,b \in A\ ;\ a<b\}\)
???
Bericht
di 30 dec 2008, 13:41 30-12-'08, 13:41
TD
Berichten: 24.578
Mijn vermoeden: A is het domein, deel van
. S is (heel) vreemd genoteerd, waarschijnlijk gewoon [a,b].
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Berichten: 150
Excuses voor de onduidelijke notatie :
Voor het gemak :
\( A = \rr\)
Ik bedoelde, dat voor elke a<b
\( \int_a^b f(x)dx > 0\)
Ik nam inderdaad (te) snel aan, dat er een primitieve bestond. Dan dus de aanname dat f Riemann integreerbaar is.
Hopelijk iets duidelijker?
Bericht
di 30 dec 2008, 13:53 30-12-'08, 13:53
TD
Berichten: 24.578
Voor zover f Riemannintegreerbaar is en f(x)>0 op het hele interval [a,b], lijkt me dat juist.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Berichten: 150
Dus dan komt het erop neer : Verdeel [a,b] in n intervallen
\( [a,b] = \Delta x_1 + \ldots + \Delta x_n\)
.
Omdat a<b geldt dat
\( \Delta x_i >0\)
en tegelijkertijd f(x)>0 voor alle
\( x\in \rr\)
krijgen we dat
\(m_i>0\)
, dus
\(\Rightarrow 0 < \sum_{i=1}^{n}m_i \Delta x_i\)
\( 0 < \sum_{i=1}^{n}m_i \Delta x_i \leq \int_a^b f(x)dx \leq \sum_{i=1}^{n}M_i \Delta x_i \)
Waarbij
\(M_i\)
het maximum is op
\( \Delta x_i \)
en
\( m_i \)
het minimum op
\( \Delta x_i\)
Bericht
di 30 dec 2008, 14:19 30-12-'08, 14:19
TD
Berichten: 24.578
Bijvoorbeeld, maar niet iedereen definieert dat op dezelfde manier. Je deelintervallen hoeven bijvoorbeeld niet even breed te zijn, je kan willekeurige Riemannsommen nemen enzovoort. Maar welke sommen je ook neemt, alle termen in je eindige som zijn positief dus met die afschatting en de limietovergang blijft je integraal ook positief.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Berichten: 150
Dit is inderdaad een erg gemakkelijke en korte manier! Bedankt
Bericht
di 30 dec 2008, 14:35 30-12-'08, 14:35
TD
Berichten: 24.578
Graag gedaan!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
. S is (heel) vreemd genoteerd, waarschijnlijk gewoon [a,b].