Moderators: ArcherBarry , Fuzzwood
Berichten: 8.614
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{2 \cdot n^n}{(n+1)^n}\)
Mijn eerste vermoeden was dat er 2 uitkwam, maar onmiddellijk daarna besefte ik dat dit onjuist is. Ik heb al enkele zaken geprobeerd, maar vooralsnog geen oplossing gevonden. Onderzoek met hulpmiddelen (lees: grafische rekenmachine) toont aan dat de uitkomst ongeveer 0,74 bedraagt.
Graag vernam ik een methode om deze limiet uit te rekenen. Ik zou het graag zelf doen, dus een kleine tip volstaat.
Verborgen inhoud De achtergrond van dit probleem is alweer - hoe kan het ook anders - een opgave over de convergentie van een reeks, meerbepaald \(\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \cdot \frac{2^k \cdot k!}{k^k}\)
. Om te bepalen of deze reeks al dan niet convergeert, bediende ik me van mijn favoriete convergentiekenmerk van d'Alembert (de uitgebreide vorm, aangezien het een reeks met alternerende tekens betreft). Dat maakt dat we de volgende limiet moeten berekenen:\(\lim_{n \to +\infty} \left| \frac{(-1)^n \cdot 2^{n+1} \cdot (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{(-1)^{n-1} \cdot 2^n \cdot n!} \right| = \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{(-1) \cdot 2 \cdot (n+1) \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}} \right| = \lim_{n \to +\infty} \frac{2 \cdot n^n}{(n+1)^n}\)
Dit is dus de limiet waarmee ik deze topic begon. Mocht er een andere/snellere/elegantere manier dan d'Alembert zijn, dan hoor ik dat graag (een kleine tip is voldoende), maar ik ben bovenal benieuwd naar bovenstaande limiet. Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP?
Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Berichten: 6.905
Kom je er niet uit door de truuk met de logaritme te gebruiken?
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Berichten: 8.614
Kom je er niet uit door de truuk met de logaritme te gebruiken?
Truc met de logaritme? Ik vrees dat ik die niet ken (althans niet onder die naam).
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP?
Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Berichten: 6.905
\(L/2= \lim_{n \to +\infty} \frac{n^n}{(n+1)^n}\)
\(\ln( L/2)= \lim_{n \to +\infty} n \ln \frac{ n}{(n+1)}\)
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Pluimdrager
Berichten: 3.505
Nog een mogelijkheid: deel in de limiet teller en noemer eens door
\(n^n\)
en kijk maar eens wat je dan krijgt.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Berichten: 6.905
Nog een mogelijkheid: deel in de limiet teller en noemer eens door
\(n^n\)
en kijk maar eens wat je dan krijgt.
leuk! Die had ik niet gezien.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Berichten: 8.614
\(L/2= \lim_{n \to +\infty} \frac{n^n}{(n+1)^n}\)
en kijk maar eens wat je dan krijgt.
Heb ik al geprobeerd, maar ik zag niets opmerkelijks. Er ontstaat de volgende limiet (die eigenlijk in niets verschilt van de vorige):
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{2}{\frac{(n+1)^n}{n^n}}\)
Wellicht is er nu een voor de hand liggende stap, maar die zie ik even niet.
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP?
Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Bericht
do 01 jan 2009, 20:36 01-01-'09, 20:36
TD
Berichten: 24.578
In de noemer:
\(\frac{{\left( {n + 1} \right)^n }}{{n^n }} = \left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)^n = \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n \)
Voor n naar oneindig is dit een bekende limiet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Berichten: 2.003
Dit is zo goed als Chinees voor me. Waarvoor staat die L? Een willekeurig getal?
Wat hij daar doet is eigenlijk niks anders dan x schrijven als exp(ln(x))...
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Berichten: 6.905
Bedankt voor de verduidelijking Morzon. Ik had er aan moeten toevoegen "we stellen "
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Berichten: 8.614
TD schreef: \(\frac{{\left( {n + 1} \right)^n }}{{n^n }} = \left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)^n = \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n \)
Voor n naar oneindig is dit een bekende limiet.
Ongelooflijk dat ik dat niet gezien heb. Bedankt!
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP?
Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
leuk! Die had ik niet gezien.
