Springen naar inhoud

Eigenvectoren bepalen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Tieske909090

    Tieske909090


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2009 - 11:17

Ik weet de theorie achter het bepalen van eigenvectoren, maar ik kom toch steeds op een ander antwoord uit dan het 'nakijkboekje'.

Het gaat om deze matrix: A =
[-1 4]
[4 5]


De vraag: Bepaal de algemene oplossing van het stelsel differentiaalvergelijkingen.

(Ik zit echter vast bij het bepalen van de eigenvectoren.)

De eerste stap die ik heb gedaan is opstellen van matrix (A-λ I):

A =
[a-λ b]
[c d-λ]


Daarna bepalen van de polynoom van deze:

p = (λ-7)(λ+3)

dus de eigenwaardes zijn λ1 = 7 en λ2 = -3


Hierna het opstellen van de matrix B1 = (A - 7 I) en matrix B2 = (A +3 I). Hierna deze matrices vegen:

B1 =
[a-7 b ]
[c d-7]

na vegen geeft: B1 =
[2 -1]
[0 0]


B2 =
[1 2]
[0 0]

Tot hier klopt het nog (gecontroleerd met Matlab):
Hierna weet ik het niet meer zeker of ik het goed doe. Ik werk het uit met B1:

opstellen B1 * x = 0:

[2 -1] x [x1] = [0]
[0 0] x [x2] = [0]


Omschrijven tot:

[2 -1 0] = [x1]
[0 0 0] = [x2]


Dan heb ik dit maar weet ik niet goed wat ik er mee moet doen...

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Tieske909090

    Tieske909090


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2009 - 12:14

Sorry voor de dubbelpost, maar ik kon de 'edit'-knop niet vinden... :D


Ik heb de eigenvectoren van het 'nakijkboekje' maar even als gegeven genomen:

v1 =
[1]
[2]


v2 =
[2]
[-1]


De algemene oplossing van het stelsel differentiaalvergelijkingen is dan:


c1 * e^7t * v1 + c2 * e^-3t * v2

Dit krijg ik er dan wel goed uit.

De tweede vraag van de opgave is:

bepaal de 2*2 matrix van e^At

ik weet dat e^At = P^-1 * A * P

Ik weet niet hoe ik P moet bepalen en hoe ik dus de e^At moet bepalen..
Kan iemand me hiermee helpen?

#3

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2009 - 12:17

Sorry voor de dubbelpost, maar ik kon de 'edit'-knop niet vinden... :D

(wijzigen lukt slechts tot een kwartier na het plaatsen van het bericht)

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#4

Tieske909090

    Tieske909090


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2009 - 12:28

okej bedankt voor dat probleem :D maar heeft ook nog iemand antwoord op de vragen in mijn posts?

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2009 - 12:39

na vegen geeft: B1 =
[2 -1]
[0 0]


B2 =
[1 2]
[0 0]

De eigenvector x is een vector die voldoet aan

LaTeX

Je hebt hier dus eigenlijk een stelsel vergelijking staan. De tweede vergelijking is overbodig en de eerste is 2x - y = 0. Dit is een vergelijking met twee onbekenden, je kan een onbekende vrij kiezen.
Stel x = t, dan is y = 2t dus de oplossing is elke vector (t,2t) met t in :D. Kies een eigenvector (bijvoorbeeld t = 1), (1,2). Eigenvectoren zijn immers maar bepaald op een evenredigheidsfactor na.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Tieske909090

    Tieske909090


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2009 - 12:47

De eigenvector x is een vector die voldoet aan

LaTeX



Je hebt hier dus eigenlijk een stelsel vergelijking staan. De tweede vergelijking is overbodig en de eerste is 2x - y = 0. Dit is een vergelijking met twee onbekenden, je kan een onbekende vrij kiezen.
Stel x = t, dan is y = 2t dus de oplossing is elke vector (t,2t) met t in :D. Kies een eigenvector (bijvoorbeeld t = 1), (1,2). Eigenvectoren zijn immers maar bepaald op een evenredigheidsfactor na.


Dus dan krijg je de eigenvector (1,2) en de eigenvector (2,-1) toch? (met een constante hiervoor, die niks uitmaakt voor de eigenvector)
Dan klopt het namelijk met het 'nakijkboekje'. Dan is dit probleem opgelost, maar zit ik nog met het tweede probleem:

Hoe moet ik dit berekenen?

[2 1] x [e^-3t 0] x [2 -1]
[-1 2] x [0 e^7t] x [1 2]


Het nakijkboekje geeft een hele lange oplossing:

1/5 x (een 2*2 matrix met steeds de termen e^-3t en e^7t erin)

Alvast bedankt voor het oplossen van mijn eerste probleem :P

Oeps ik heb teveel denkfouten op dit moment... Is oud op nieuw toch niet goed voor me geweest. Dit is gewoon letterlijk uitrekenen :S

Veranderd door Tieske909090, 02 januari 2009 - 12:52


#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2009 - 12:51

[quote name='Tieske909090' post='479441' date='2 January 2009, 12:47']Dus dan krijg je de eigenvector (1,2) en de eigenvector (2,-1) toch? (met een constante hiervoor, die niks uitmaakt voor de eigenvector)
Dan klopt het namelijk met het 'nakijkboekje'. Dan is dit probleem opgelost, maar zit ik nog met het tweede probleem:[/quote]
Klopt, maar je had dus ook andere veelvouden mogen kiezen dus je antwoord hoeft niet precies hetzelfde te zijn als in het boekje.

[quote name='Tieske909090' post='479441' date='2 January 2009, 12:47']Hoe moet ik dit berekenen?

[2 1] x [e^-3t 0] x [2 -1]
[-1 2] x [0 e^7t] x [1 2][/quote]
Er hoeft telkens maar een vermenigvuldigingsteken te staan, want dit is gewoon het vermenigvuldigen van matrices... Dat ken je toch, of niet...? Zie Bericht bekijken
Oeps ik heb teveel denkfouten op dit moment... Is oud op nieuw toch niet goed voor me geweest. Dit is gewoon letterlijk uitrekenen :S[/quote]
Ok, blijkbaar ben je er zelf achtergekomen :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures