Springen naar inhoud

[wiskunde] convergentie van reeksen (2)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2009 - 14:46

Ik begin het stilaan vervelend te vinden dat ik jullie wederom lastigval met een opgave over reeksen (zeker wanneer het opnieuw om een eenvoudige bevestiging gaat). Ik ben er echter dol op en omdat ik de verscheurende keuze heb gemaakt om geen wiskunde maar geneeskunde te gaan studeren, geniet ik volop van dit laatste jaar waarin wiskunde een prominente rol speelt en wil ik elke opgave deftig oplossen.

Ik open een nieuwe topic omdat mijn vorige vraag eerder over een limiet ging dan over de reeks die tot die limiet leidde en omdat de vorige topic die wťl over convergentie van reeksen ging alweer naar de tweede pagina van dit subforum is weggezakt.

Zo, dat kan tellen als totaal irrelevante inleiding. Over naar de opgave, die - o wonder - dezelfde is als de vorige keren (bepaal het convergentiegedrag van de volgende reeks met gelijk welke methode).

De prachtreeks waar het ditmaal om draait is de volgende: LaTeX

Omdat de "normale", snelle convergentieonderzoeken niets opleverden, had ik het idee om terug te keren naar de basis van convergentie en de formule voor de partiŽle som LaTeX op te stellen d.m.v. breuksplitsing. We schrijven de algemene term als volgt:

LaTeX

Hieruit volgt dat A en B allebei gelijk zijn aan 1. We kunnen de algemene term LaTeX dus schrijven als LaTeX .

Nu bepalen we de formule voor LaTeX :

LaTeX

Om te bepalen of deze reeks al dan niet convergeert nemen we de volgende limiet:

LaTeX

Deze reeks convergeert dus met som 1.

Nu had ik een vraag willen stellen, maar al schrijvende heb ik de oplossing zelf gevonden.

EDIT: Dat maakt dat van er van de vijftig opgegeven reeksen reeds achtenveertig gelukt zijn. Ik zal de twee laatsten even rustig bekijken en ze bij eventuele vragen hier plaatsen, nu deze topic er toch is.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2009 - 15:46

Misschien ten overvloede, maar de som is inderdaad 1 - juist dus :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2009 - 20:59

Alhoewel ik reeksen erg interessant vind, zijn er grenzen (en 50 opgaven is zo'n grens). Ik probeer dan ook die twee laatsten af te maken zodat ik er voorlopig niet meer mee bezig hoef te zijn. Die twee heb ik echter niet voor niets opengelaten. De eerste heeft te maken met een natuurlijke logaritme en alhoewel ik al redelijk uit de voeten kan met het getal e, hebben we de natuurlijke logaritme in feite nog maar amper gebruikt. Ik heb intussen al wel een mogelijk oplossing uitgewerkt, maar de vraag is of die correct is.

De reeks in kwestie is LaTeX . Omdat ik net als bij de eerste opgave uit deze topic niet onmiddellijk iets anders zag, heb ik getracht een formule voor de partiŽle som LaTeX te fabriceren. Het resultaat vinden jullie hieronder:

LaTeX

Het probleem hier is echter de limiet hiervan. Instinctief zou ik zeggen dat die naar plus oneindig gaat en dat de reeks dus divergeert, maar LaTeX gaat naar 1, dus zo zeker ben ik er niet van.

Kan iemand het bovenstaande bevestigen dan wel een andere methode voorstellen. Zoals gewoonlijk is een kleine tip voldoende.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2009 - 21:06

Heb je al geprobeerd om te vergelijken met de harmonische reeks?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 januari 2009 - 21:17

Heb je al geprobeerd om te vergelijken met de harmonische reeks?

Is dat voldoende? Want ln(2) <1.
Quitters never win and winners never quit.

#6

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2009 - 21:17

Jazeker, dat levert het volgende:

LaTeX

Aangezien LaTeX , vertelt dit ons niets over het convergentiegedrag, toch?

EDIT: Dit was een antwoord op TD's vraag.

Veranderd door Klintersaas, 02 januari 2009 - 21:18

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2009 - 21:22

Met vergelijken bedoelde ik het iets letterlijker. Vanaf k=3 geldt ln(k)/k > 1/k, dus je hebt een divergente minorante...

Is dat voldoende? Want ln(2) <1.

Euh, en dan? Ik begrijp niet wat je hiermee wil zeggen...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 januari 2009 - 21:27

Vanaf k=3 geldt ln(k)/k > 1/k, dus je hebt een divergente minorante...

En daarom klopt het ook niet.

Euh, en dan? Ik begrijp niet wat je hiermee wil zeggen...

Dit wil ik zeggen:

[attachment=3000:1.PNG]
Quitters never win and winners never quit.

#9

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2009 - 21:28

Met vergelijken bedoelde ik het iets letterlijker. Vanaf k=3 geldt ln(k)/k > 1/k, dus je hebt een divergente minorante...

Dat heb ik ook al geprobeerd, maar dat geldt pas vanaf k=3. Moet dit niet gelden voor alle natuurlijke k (zonder 0)?

EDIT: Dirkwb was me voor.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2009 - 21:30

En daarom klopt het ook niet.

Dit wil ik zeggen:

Die stellingen kloppen, maar zijn nogal beperkt (het kan algemener)... Wat wil je ermee zeggen?

Dat heb ik ook al geprobeerd, maar dat geldt pas vanaf k=3. Moet dit niet gelden voor alle natuurlijke k (zonder 0)?

Nee hoor, convergentie (of divergentie) verandert niet als je een eindig aantal termen uit een reeks schrapt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2009 - 21:35

Maar hoort dat dan ook niet te blijken uit het voorschrift van de algemene term, dat LaTeX hoort te zijn i.p.v. LaTeX ?

EDIT: *kletter* (mijn frank die valt) *slaat zichzelf keihard voor het hoofd*

Dat verklaart uiteraard alles.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2009 - 21:36

Edit: al duidelijk blijkbaar...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 januari 2009 - 21:37

Nee hoor, convergentie (of divergentie) verandert niet als je een eindig aantal termen uit een reeks schrapt.

Inderdaad, dus een vergelijking met de harmonische reeks vanaf k=3 volstaat.
Quitters never win and winners never quit.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2009 - 21:38

Ja. De stellingen die je geeft blijven geldig als de afschatting geldt vanaf een zekere index N.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2009 - 22:36

Ik zal dan meteen ook de allerlaatste reeks plaatsen, zodat ik kan gaan slapen zonder het vooruitzicht om het morgen te moeten afmaken.

LaTeX

Deze opgave verschilt echter licht van de anderen. Hier mag de methode om de convergentie te onderzoeken niet zelf gekozen worden, maar is het de bedoeling dat ik een convergente majorante dan wel een divergente minorante reeks vind. Ook de stelling uit post #6 van deze topic mag gebruikt worden.

Vergelijken met LaTeX en LaTeX heeft niets opgeleverd. Verder is de gegeven reeks wel een majorante van de convergente meetkundige reeks LaTeX , maar daar ben ik niet veel mee.

Als ik er wat langer/beter naar zou kijken, zou de oplossing me waarschijnlijk wel te binnen schieten, maar ik ben er eigenlijk al te lang mee bezig en ik zie niets meer...

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures