Ik open een nieuwe topic omdat mijn vorige vraag eerder over een limiet ging dan over de reeks die tot die limiet leidde en omdat de vorige topic die wél over convergentie van reeksen ging alweer naar de tweede pagina van dit subforum is weggezakt.
Zo, dat kan tellen als totaal irrelevante inleiding. Over naar de opgave, die - o wonder - dezelfde is als de vorige keren (bepaal het convergentiegedrag van de volgende reeks met gelijk welke methode).
De prachtreeks waar het ditmaal om draait is de volgende:
\(\sum_{k = 1}^{\infty} (-1)^{k-1} \cdot \frac{2k+1}{k \cdot (k+1)}\)
Omdat de "normale", snelle convergentieonderzoeken niets opleverden, had ik het idee om terug te keren naar de basis van convergentie en de formule voor de partiële som \(s_n\)
op te stellen d.m.v. breuksplitsing. We schrijven de algemene term als volgt:\((-1)^{n-1} \cdot \frac{2n+1}{n \cdot (n+1)} = (-1)^{n-1} \cdot \left(\frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}\right) = (-1)^{n-1} \cdot \frac{A \cdot (n + 1) + B \cdot n}{n \cdot (n + 1)}\)
Hieruit volgt dat A en B allebei gelijk zijn aan 1. We kunnen de algemene term \((-1)^{n-1} \cdot \frac{2n+1}{n \cdot (n+1)}\)
dus schrijven als \((-1)^{n-1} \cdot \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}\right)\)
. Nu bepalen we de formule voor
\(s_n\)
:\(\begin{array}{rcl}s_n & = & \frac{3}{1 \cdot 2} - \frac{5}{2 \cdot 3} + \frac{7}{3 \cdot 4} - \cdots + (-1)^{n-2} \cdot \frac{2n-1}{(n-1) \cdot n} + (-1)^{n-1} \cdot \frac{2n+1}{n \cdot (n+1)}\\&& \\& = & 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \cdots \pm \frac{1}{n-1} \pm \frac{1}{n} \mp \frac{1}{n} \mp \frac{1}{n+1}\\&& \\& = & 1 \mp \frac{1}{n + 1}\end{array}\)
Om te bepalen of deze reeks al dan niet convergeert nemen we de volgende limiet:\(\lim_{n \to +\infty} 1 \mp \frac{1}{n + 1} = 1\)
Deze reeks convergeert dus met som 1.Nu had ik een vraag willen stellen, maar al schrijvende heb ik de oplossing zelf gevonden.
EDIT: Dat maakt dat van er van de vijftig opgegeven reeksen reeds achtenveertig gelukt zijn. Ik zal de twee laatsten even rustig bekijken en ze bij eventuele vragen hier plaatsen, nu deze topic er toch is.
